高考文科数学复习备课课件：第一节　随机事件的概率 25页

文数 课标版 第一节　随机事件的概率 确定事件 必然事件 在条件 S 下,① 　一定会     发生的事件叫做相 对于条件 S 的必然事件 不可能事件 在条件 S 下,② 　一定不会     发生的事件叫做 相对于条件 S 的不可能事件 随机事件 在条件 S 下,③ 　可能发生也可能不     发生的事件叫做相对于条件 S 的随机事件 1.事件的分类 教材研读 2.频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验 中事件 A 出现的④ 　次数     n A 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 f n ( A )=⑤             为事件 A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A ,随着试验次数的增加,事件 A 发生的 ⑥ 　频率 f n ( A )     稳定在某个常数上,把这个常数记作 P ( A ),称为 事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 名称 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生,则事件 B ⑦ 　一定发生     ,这时称事件 B 包含事件 A (或称事件 A 包含于事件 B ) ⑧      B ⊇ A      (或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A ,且 B ⊆ A ,那么称事件 A 与事件 B 相等 A = B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当⑨ 　事件 A 或事件 B 发生     ,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A ∪ B (或 A + B ) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当⑩ 　事件 A 发生且事件 B 发生     ,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)        A ∩ B      (或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为   　不可能     事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B = ⌀ 对立事件 若 A ∩ B 为   　不可能     事件, A ∪ B 为   　必然     事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A ∩ B = ⌀ 且 A ∪ B = U ( U 为全集) 4.概率的几个基本性质 (1)概率的范围为   　[0,1]     . (2)必然事件的概率为   　1     . (3)不可能事件的概率为   　0     . (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P ( A ∪ B )=        P ( A )+ P ( B )     . (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A ∪ B 为必然事件, P ( A ∪ B )=   　1     , P ( A )=   　1- P ( B )     .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.   ( × ) (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.   (√) (3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(√) (4)两互斥事件的概率和为1.   ( × ) (5)若 P ( A )+ P ( B )=1,则事件 A 与 B 一定是对立事件.   ( × )   1.下列事件中,随机事件的个数为   (　　) ①物体在只受重力的作用下会自由下落; ②方程 x 2 +2 x +8=0有两个实根; ③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次; ④下周六会下雨. A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案     B　①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件. 2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件 “至少有一名女生”与事件“全是男生”   (　　) A.是互斥事件,不是对立事件 B.是对立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 答案     C　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两 种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故 “至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故 选C. 3.给出下面三个命题: ①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是 次品; ②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是   ; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中真命题的个数为   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案     A　①,从中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故 ①是假命题. ②,抛硬币时出现正面的概率是   ,不是   ,故②是假命题. ③,频率和概率不是一回事,故③是假命题,故选A. 4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为 0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高 超过175 cm的概率为   (　　) A.0.2　    B.0.3　     C.0.7　    D.0.8 答案     B　由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm的 概率为1-(0.2+0.5)=0.3. 5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是   ,乙获胜的概率是   ,则乙不输的 概率是 　　　     . 答案        解析 　乙不输即为两人和棋或乙获胜,因此乙不输的概率为   +   =   . 考点一　随机事件的频率与概率 典例1     (2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为 a (单位:元),继 续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出 险次数的关联如下: 考点突破 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下 统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P ( A ) 的估计值; (2)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保 费的160%”.求 P ( B )的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 解析 　(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为   =0.55,故 P ( A )的估 计值为0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为   =0.3,故 P ( B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0.85 a × 0.30+ a × 0.25+1.25 a × 0.15+1.5 a × 0.15+1.75 a × 0.10+2 a × 0.05=1.192 5 a . 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5 a . 规律总结 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性的 大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小.而从大量重复试 验中发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定 的值,该值就是概率. 1-1     (2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气 情况进行统计,结果如下: (1)在4月份任取一天,估计西安市在该天   的概率; (2)西安市某学校拟从4月份的一个   开始举行连续2天的运动会,估 计运动会期间   的概率. 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如:1日与2日,2日与3日等).这 样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的 有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为   .以频率估计概率,运动会期 间不下雨的概率为   . 解析 　(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,从 4月份任选一天,西安市在该天不下雨的概率为   . 考点二　互斥事件与对立事件的概率 典例2 　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工 随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定 x , y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2分钟的概率.(将频率视为概 率) 解析 　(1)由已知得25+ y +10=55, x +30=45,所以 x =15, y =20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾 客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为   =1.9(分钟). (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”, A 1 , A 2 , A 3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次 购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率得 P ( A 1 )=   =   , P ( A 2 )=   =   , P ( A 3 )=   =   . 因为 A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ,且 A 1 , A 2 , A 3 是互斥事件,所以 P ( A )= P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 )= P ( A 1 )+ P ( A 2 )+ P ( A 3 ) =   +   +   =   . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为   . 方法技巧 求复杂事件的概率一般有两种方法:一是直接法,将所求事件的概率分 解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立 事件的概率,再由 P ( A )=1- P (   )求解.当题目涉及“至多”“至少”时,多 考虑间接法. 2-1 　从1,2,3, … ,7这7个数中任取两个数,其中: ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是   (　　) A.①　    B.②④　    C.③　    D.①③ 答案     C　③,“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从 1,2,3, … ,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况: “两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是 奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件. 2-2 　在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件 “2张全是移动卡”的概率是   ,那么概率是   的事件是(　　) A.至多有1张移动卡　    B.恰有1张移动卡 C.都不是移动卡　    D.至少有1张移动卡 答案     A　“至多有1张移动卡”包含“1张是移动卡,1张是联通卡” “2张全是联通卡”两种情况,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故 选A. 2-3 　某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张 奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券 中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ,求: (1) P ( A ), P ( B ), P ( C ); (2)1张奖券中奖的概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解析 　(1) P ( A )=   , P ( B )=   =   , P ( C )=   =   . (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”为事件 M ,则 M = A ∪ B ∪ C . ∵ A 、 B 、 C 两两互斥,∴ P ( M )= P ( A ∪ B ∪ C )= P ( A )+ P ( B )+ P ( C )=   =   . 故1张奖券中奖的概率为   . (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N ,则事件 N 与“1张 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, ∴ P ( N )=1- P ( A ∪ B )=1-[ P ( A )+ P ( B )]=1-   =   . 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为   .