高考文科数学复习备课课件：第二节　等差数列及其前n项和 30页

文数 课标 版 第二节　等差数列及其前 n 项和 1.等差数列的定义 如果一个数列从① 　第二项     起,每一项与前一项的差等于② 　同一个常数     ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的③     公差     ,通常用字母④      d      表示,定义的表达式为 a n +1 - a n = d ( n ∈N * ). 教材研读 2.等差数列的通项公式 等差数列{ a n }的通项公式是⑤      a n = a 1 +( n -1) d      . 3.等差中项 如果⑥      A =        ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广: a n = a m +⑦ 　( n - m ) d      ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }是等差数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈N * ),则⑧      a k + a l = a m + a n      . (3)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则{ a 2 n }也是等差数列,公差为⑨ 　2 d      . (4)若{ a n },{ b n }(项数相同)是等差数列,则{ pa n + qb n }( p , q 是常数)仍是等差 数列. (5)若{ a n }是等差数列,则 a k , a k + m , a k +2 m , … ( k , m ∈N * )组成公差为⑩      md      的 等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 等差数列{ a n }的前 n 项和 S n =               或 S n =        na 1 +        . 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n =   n 2 +   n . 数列{ a n }是等差数列 ⇔ S n = An 2 + Bn ( A 、 B 为常数). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{ a n }中,若 a 1 >0, d <0,则 S n 存在最   　大     值;若 a 1 <0, d >0,则 S n 存在最   　小     值. 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数 列是等差数列.   ( × ) (2)数列{ a n }为等差数列的充要条件是对任意 n ∈N * ,都有2 a n +1 = a n + a n +2 .   (√) (3)等差数列{ a n }的单调性是由公差 d 决定的.   (√) (4)已知数列{ a n }的通项公式是 a n = pn + q (其中 p , q 为常数),则数列{ a n }一定 是等差数列.   (√) (5)若数列{ a n },{ b n }(项数相同)都是等差数列,则数列{ a n + b n }也一定是等 差数列.   (√) (6)等差数列{ a n }的首项为 a 1 ,公差为 d ,取出数列中的所有奇数项,组成一 个新的数列,则此新数列一定是等差数列.   (√)   1.在等差数列{ a n }中,若 a 2 =4, a 4 =2,则 a 6 =   (　　) A.-1　    B.0　    C.1　    D.6 答案     B　设数列{ a n }的公差为 d ,由 a 4 = a 2 +2 d , a 2 =4, a 4 =2,得2=4+2 d , d =-1, ∴ a 6 = a 4 +2 d =0.故选B. 2.(2015东北师大附中摸底考试)等差数列{ a n }中, a 1 + a 5 =10, a 4 =7,则数列 { a n }的公差为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案     B　设公差为 d .∵ a 1 + a 5 =2 a 3 =10,∴ a 3 =5,又∵ a 4 =7,∴ d =2.故选B. 3.(2016广东惠州调研)等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a 1 =4,则公差 d 等于   (　　) A.1　    B.   　    C.-2　    D.3 答案     C　∵ S 3 =6=   ( a 1 + a 3 ),且 a 3 = a 1 +2 d , a 1 =4,∴ d =-2,故选C. 4.已知等差数列{ a n }满足 a 1 + a 2 + a 3 + … + a 101 =0,则有   (　　) A. a 1 + a 101 >0　    B. a 2 + a 100 <0 C. a 3 + a 99 =0　    D. a 1 =51 答案     C　∵ S 101 =0,∴ S 101 =   =0,∴ a 1 + a 101 = a 2 + a 100 = a 3 + a 99 =0.故选 C. 5.已知等差数列{ a n }中, a 5 + a 9 - a 7 =10,记 S n = a 1 + a 2 + … + a n ,则 S 13 的值为 　　          . 答案 　130 解析 　由 a 5 + a 9 - a 7 =10可得2 a 7 - a 7 = a 7 =10,由等差数列前 n 项和公式可得 S 13 =   =13 a 7 =130. 考点一　等差数列的基本运算 典例1 　(1)设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 1 =2, S 3 =12,则 a 6 等于   (    ) A.8　    B.10　    C.12　    D.14 (2)设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m -1 =-2, S m =0, S m +1 =3,则 m =   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 答案 　(1)C　(2)C 解析 　(1)∵ S 3 =   =3 a 2 =12,∴ a 2 =4. 考点突破 ∵ a 1 =2,∴ d = a 2 - a 1 =4-2=2. ∴ a 6 = a 1 +5 d =12.故选C. (2)解法一:∵ S m -1 =-2, S m =0, S m +1 =3, ∴ a m = S m - S m -1 =2, a m +1 = S m +1 - S m =3, ∴公差 d = a m +1 - a m =1, 由 S n = na 1 +   d = na 1 +   , 得   由①得 a 1 =   ,代入②可得 m =5. 解法二:∵数列{ a n }为等差数列,且前 n 项和为 S n , ∴数列   也为等差数列. ∴   +   =   , 即   +   =0, 解得 m =5,经检验为原方程的解.故选C. 方法指导 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 , a n , d , n , S n ,知其中 三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中可起到变量代换作用, a 1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法. 1-1　 设 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和,若 a 1 =1,公差 d =2, S n +2 - S n =36,则 n =   (　　) A.5　    B.6　    C.7　    D.8 答案     D　解法一:由题意知 S n = na 1 +   d = n + n ( n -1)= n 2 , 则 S n +2 =( n +2) 2 , 因为 S n +2 - S n =36, 所以( n +2) 2 - n 2 =4 n +4=36, 所以 n =8. 解法二:由 S n +2 - S n = a n +1 + a n +2 =2 a 1 +(2 n +1) d =2+2(2 n +1)=36,解得 n =8.所以 选D. 1-2     (2017安徽师大附中模拟)公差不为零的等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项, S 8 =32,则 S 10 等于(　　) A.18　    B.24　    C.60　    D.90 答案     C　设{ a n }的公差为 d ( d ≠ 0). ∵ a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项, ∴   = a 3 a 7 , 即( a 1 +3 d ) 2 =( a 1 +2 d )( a 1 +6 d ), 整理得2 a 1 +3 d =0,① ∵ S 8 =8 a 1 +   d =32, ∴2 a 1 +7 d =8,② 由①②,解得 d =2, a 1 =-3, ∴ S 10 =10 × (-3)+   × 2=60.故选C. 1-3 　已知等差数列{ a n }中, a 1 =1, a 3 =-3. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若数列{ a n }的前 k 项和 S k =-35,求 k 的值. 解析 　(1)设等差数列{ a n }的公差为 d , 因为 a 1 =1, a 3 =-3,所以1+2 d =-3,解得 d =-2, 则 a n =1+( n -1)(-2)=3-2 n ( n ∈N * ). (2)由(1)知 a n =3-2 n ,则 S n =   =2 n - n 2 . 由 S k =-35,得2 k - k 2 =-35,即 k 2 -2 k -35=0, 解得 k =7或 k =-5.又 k ∈N * ,所以 k =7. 考点二　等差数列的性质及其应用 典例2 　(1)在等差数列{ a n }中, a 3 + a 9 =27- a 6 , S n 表示数列{ a n }的前 n 项和,则 S 11 =   (　　) A.18　    B.99　    C.198　    D.297 (2)已知等差数列{ a n }的公差为2,项数是偶数,奇数项之和为15,偶数项之 和为25,则这个数列的项数为   (　　) A.10　    B.20　    C.30　    D.40 (3)等差数列{ a n }的前 m 项和为30,前3 m 项和为90,则它的前2 m 项和为      　　     . 答案 　(1)B　(2)A　(3)60 解析 　(1)因为 a 3 + a 9 =27- a 6 ,2 a 6 = a 3 + a 9 ,所以3 a 6 =27,所以 a 6 =9,所以 S 11 =   ( a 1 + a 11 )=11 a 6 =99. (2)设这个数列有2 n 项,由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项 之和等于 nd ,即25-15=2 n ,故2 n =10,即数列的项数为10. (3)由 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m 成等差数列, 可得2( S 2 m - S m )= S m + S 3 m - S 2 m , 即 S 2 m =   =   =60. 易错警示 一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意 性质运用的条件,如 m + n = p + q ( m , n , p , q ∈N * ),则 a m + a n = a p + a q ,该性质的运用 条件是序号之和相等. 2-1　 已知{ a n },{ b n }都是等差数列,若 a 1 + b 10 =9, a 3 + b 8 =15,则 a 5 + b 6 = 　　          . 答案 　21 解析 　因为{ a n },{ b n }都是等差数列, 所以2 a 3 = a 1 + a 5 ,2 b 8 = b 10 + b 6 , 所以2( a 3 + b 8 )=( a 1 + b 10 )+( a 5 + b 6 ), 即2 × 15=9+( a 5 + b 6 ), 解得 a 5 + b 6 =21. 2-2 　已知{ a n }为等差数列,若 a 1 + a 2 + a 3 =5, a 7 + a 8 + a 9 =10,则 a 19 + a 20 + a 21 = 　     　     . 答案 　20 解析 　由等差数列的性质,可知 S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 , …… , S 21 - S 18 成等差数列,设此 数列的公差为 D . 所以5+2 D =10,所以 D =   . 所以 a 19 + a 20 + a 21 = S 21 - S 18 =5+6 D =5+15=20. 2-3　 在等差数列{ a n }中, a 1 =-2 012,其前 n 项和为 S n ,若   -   =2,则 S 2 012 的 值等于 　　　     . 答案 　-2 012 解析 　由 S n = An 2 + Bn ( A 、 B 为常数),知   = An + B , ∴数列   是等差数列, 又   -   =2,∴   的公差为1, 又其首项为   =-2 012, ∴   =-2 012+(2 012-1) × 1=-1,故 S 2 012 =-2 012. 考点三　等差数列的判定与证明 典例3 　若数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a n +2 S n S n -1 =0( n ≥ 2), a 1 =   . (1)求证:   是等差数列; (2)求数列{ a n }的通项公式. 解析　 (1)证明:当 n ≥ 2时,由 a n +2 S n S n -1 =0, 得 S n - S n -1 =-2 S n S n -1 ,又易知 S n ≠ 0,所以   -   =2, 又   =   =2,故   是首项为2,公差为2的等差数列. (2)由(1)可得   =2 n ,∴ S n =   . 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =   -   =   =-   . 当 n =1时, a 1 =   不适合上式. 故 a n =   方法指导 证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明 a n - a n -1 = d ( n ≥ 2, d 为常数);二是等差中项法,证明2 a n +1 = a n + a n +2 .若证明一个数列不是 等差数列,则可以举反例,也可以用反证法. 3-1　 已知数列{ a n }中, a 1 =2, a n =2-   ( n ≥ 2, n ∈N * ),设 b n =   ( n ∈N * ).求 证:数列{ b n }是等差数列. 证明 　∵ a n =2-   , ∴ a n +1 =2-   . ∴ b n +1 - b n =   -   =   -   =   =1, ∴{ b n }是首项为 b 1 =   =1,公差为1的等差数列. 考点四　等差数列的前 n 项和及其最值 典例4 　在等差数列{ a n }中, a 1 =29, S 10 = S 20 ,则数列{ a n }的前 n 项和中最大的 为   (　　) A. S 15 　    B. S 16 　    C. S 15 和 S 16 　    D. S 17 答案     A 解析　 ∵ S 10 = S 20 , ∴10 a 1 +   d =20 a 1 +   d , 又 a 1 =29,∴ d =-2, ∴ S n =29 n +   × (-2)=- n 2 +30 n =-( n -15) 2 +225. ∴当 n =15时, S n 取得最大值. 方法指导 处理等差数列前 n 项和的最值问题的常用方法 (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)将等差数列的前 n 项和 S n = An 2 + Bn ( A , B 为常数且 A ≠ 0)看作二次函数, 根据二次函数的性质求解. 变式4-1 　若将本例中的条件“ a 1 =29, S 10 = S 20 ”改为“ a 1 >0, S 5 = S 12 ”,如何 求解? 解析　 解法一:由 S 5 = S 12 得5 a 1 +10 d =12 a 1 +66 d , 即 d =-   a 1 <0. 所以 S n = na 1 +   d = na 1 +   ·   =-   a 1 ( n 2 -17 n )=-   a 1   +   a 1 , 因为 a 1 >0, n ∈N * ,所以当 n =8或 n =9时, S n 取得最大值. 解法二:同解法一得 d =-   a 1 <0. 设此数列的前 k 项和最大, 则   即   解得   即8 ≤ k ≤ 9, 又 k ∈N * ,所以 k =8或9, 所以当 n =8或 n =9时, S n 取得最大值. 解法三:同解法一得 d =-   a 1 <0, 由于 S n = na 1 +   d =   n 2 +   n , 设 f ( x )=   x 2 +   x ,则函数 y = f ( x )的图象为开口向下的抛物线, 由 S 5 = S 12 知,抛物线的对称轴为 x =   =   , 易知当1 ≤ n ≤ 8时, S n 单调递增;当 n ≥ 9时, S n 单调递减,且 S 8 = S 9 ,所以当 n =8 或 n =9时, S n 取得最大值. 变式4-2 　若将本例中的条件“ a 1 =29, S 10 = S 20 ”改为“ a 3 =12, S 12 >0, S 13 < 0”,如何求解? 解析 　因为 a 3 = a 1 +2 d =12,所以 a 1 =12-2 d , 因为   所以   解得-   < d <-3. 故公差 d 的取值范围为   . 解法一:由 d <0可知{ a n }为递减数列, 因此,在1 ≤ n ≤ 12中,必存在一个自然数 n ,使得 a n ≥ 0, a n +1 <0, 此时对应的 S n 就是 S 1 , S 2 , … , S 12 中的最大值. 由于   因此 a 7 <0, a 6 >0, 因此 S 6 最大. 解法二:由 d <0可知{ a n }是递减数列, 令   可得   由-   < d <-3,可得   所以5.5< n <7,故 n =6, 由此可知 S 6 最大.