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- 2021-06-17 发布
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第三节 随机抽样
1.总体、个体、样本、样本容量的概念
统计中所考察对象的全体构成的集合看作总体,构成总体的每个元素作
为个体,从总体中抽取的各个个体所组成的集合叫样本,样本中个体的
个数叫样本容量.
教材研读
2.简单随机抽样
(1)定义:设一个总体含有
N
个个体,从中①
逐个不放回地
抽取
n
个个
体作为样本(
n
≤
N
),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都
②
相等
,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法:③
抽签法
和④
随机数法
.
3.系统抽样的步骤
假设要从容量为
N
的总体中抽取容量为
n
的样本.
(1)先将总体的
N
个个体⑤
编号
.
(2)确定⑥
分段间隔
k
,对编号进行⑦
分段
.
当
(
n
是样本容量)是整数时,取
k
=
.
(3)在第1段用⑧
简单随机抽样
确定第一个个体编号
l
(
l
≤
k
).
(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将
l
加上间隔
k
得到第2个个体编号
⑨
l
+
k
,再加
k
得到第3个个体编号⑩
l
+2
k
,依次进行下去,直到获
取整个样本.
4.分层抽样
(1)定义:在抽样时,将总体分成
互不交叉
的层,然后按照
一定
的比例
,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在
一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由
差异明显的几个部分
组成时,往往选用分层抽样.
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“
×
”)
(1)从100件玩具中随机抽出1件,然后放回再抽取1件,连续抽取5次,是简
单随机抽样.
(
×
)
(2)简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.
(
×
)
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.
(√)
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需
要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.
(
×
)
(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
(
×
)
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性
( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大
B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小
C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等
D.与第几次抽样无关,与抽取几个个体有关
答案
C 由简单随机抽样的特点可知:在简单随机抽样中,每个个体被
抽到的可能性相等,与第几次抽样无关.
2.某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需的时间,采取
了两种抽样调查方式:第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调
查;第二种由教务处对高三年级的学生进行编号,从001到240,抽取学号
最后一位为3的同学进行调查,则这两种抽样方法依次为
( )
A.分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样
C.分层抽样,系统抽样 D.简单随机抽样,系统抽样
答案
D 由三种抽样方法的定义可知,题中第一种方法为简单随机抽
样,第二种为系统抽样.
3.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取
部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学
生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样
方法中,最合理的抽样方法是
( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
答案
C 因为男女生视力情况差异不大,而各学段学生的视力情况有
较大差异,所以应按学段分层抽样,故选C.
4.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,
从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名
居民某天的阅读时间的全体是
( )
A.总体
B.个体
C.样本容量 D.从总体中抽取的一个样本
答案
A 由题目条件知,5 000名居民某天的阅读时间的全体是总体;
其中每1名居民的阅读时间是个体;从5 000名居民某天的阅读时间中抽
取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是20
0.
5.一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员56人.按男女比例用分层
抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取的女
运动员的人数是
.
答案
12
解析
男女运动员人数的比为
=
,则样本中女运动员的人数为
28
×
=12.故应抽取的女运动员的人数为12.
考点一 简单随机抽样
典例1
(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是
( )
A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽
取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产
品,称其质量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了
解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)总体由编号为01,02,
…
,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表
选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由
考点突破
左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为
( )
A.08 B.07 C.02 D.01
答案
(1)D (2)D
解析
(1)选项A、B不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固
定的;选项C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;选项D是
简单随机抽样.
(2)由题意知依次选取的5个个体的编号为08,02,14,07,01(第2个02需剔
除),所以选出来的第5个个体的编号为01,选D.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
方法技巧
(1)简单随机抽样需满足:①总体的个体数有限;②逐个抽取;③是不放回
抽取;④是等可能抽取.
(2)常用的简单随机抽样的方法有两种:抽签法(适用于总体中个体数较
少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况).
1-1
下列抽样不是简单随机抽样的有
( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,
从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案
D ①不是简单随机抽样,因为总体的个体数是无限的.
②不是简单随机抽样,因为它是放回抽样.
③不是简单随机抽样,因为它是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.
1-2
下列抽样检验中,适合用抽签法的是
( )
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
答案
B A,D中,总体的个体数较多,不适宜用抽签法,C中,一般甲、乙
两厂的产品质量有区别,也不适宜用抽签法,故选B.
考点二 系统抽样
典例2
在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图
如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7
人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析
从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5
人,从每一组中抽取1人,而成绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故
选B.
答案
B
规律总结
(1)通常系统抽样又称“等距抽样”,所以依次抽取的样本对应的号码
就组成一个等差数列,首项就是第1组所抽取的样本号码,公差为分组间
隔,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号
码,但有时也不是按一定的间隔抽取.
(2)进行系统抽样时,如果总体中的个体数不能被样本容量整除,可以先
用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,再按系统抽样进行抽取.
2-1
某年级有1 000名学生,随机编号为0001,0002,
…
,1000,现用系统抽
样方法,从中抽出200人,若0122号被抽到了,则下列编号也被抽到的是
( )
A.0116 B.0927
C.0834 D.0726
答案
B 样本间隔为1 000
÷
200=5,
所以被抽到的编号的间隔应为5的倍数,故选B.
2-2
采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们
随机编号为1,2,
…
,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到
的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷
A
,编号落入
区间[451,750]的人做问卷
B
,其余的人做问卷
C
,则抽到的人中,做问卷
B
的人数为
( )
A.7 B.9 C.10 D.15
答案
C 由题意,知将960人分成了32组,每组30人,第
k
组选出的人的
号码为30
k
+9(
k
=0,1,
…
,31),令451
≤
30
k
+9
≤
750,得
≤
k
≤
,又
k
∈N,
故
k
=15,16,
…
,24.故选C.
考点三 分层抽样
典例3
(1)某县老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的
方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本
中的老年教师人数为
( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90
B.100
C.180
D.300
(2)(2016
东北三校联考
)
某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品
,
产品数
量之比为
3∶5∶7,
现用分层抽样的方法抽出容量为
n
的样本
,
其中甲种
产品有
18
件
,
则样本容量
n
=
(
)
A.54
B.90
C.45
D.126
答案
(1)C (2)B
解析
(1)根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数
的比=1 600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为
×
320
=180,故选C.
(2)依题意得
×
n
=18,解得
n
=90.
易错警示
进行分层抽样时应注意以下两点
(1)分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内
样本的差异要小,层与层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性
相同.
3-1
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分
层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应
从高二年级抽取
名学生.
答案
15
解析
从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为
,所以应
从高二年级抽取50
×
=15(名)学生.
3-2
某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一
个小组)(单位:人).
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的
方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12
人,则
a
的值为
.
答案
30
解析
由题意知
=
,解得
a
=30.
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
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