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- 2021-06-16 发布
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课标版
第二节 导数与函数的单调性
函数的导数与单调性的关系
函数
y
=
f
(
x
)在某个区间内可导,
(1)若
f
'(
x
)>0,则
f
(
x
)在这个区间内①
单调递增
;
(2)若
f
'(
x
)<0,则
f
(
x
)在这个区间内②
单调递减
;
(3)若
f
'(
x
)=0,则
f
(
x
)在这个区间内是③
常数函数
.
教材研读
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“
×
”)
(1)若函数
f
(
x
)在(
a
,
b
)内单调递增,那么一定有
f
'(
x
)>0.
(
×
)
(2)如果函数
f
(
x
)在某个区间内恒有
f
' (
x
)=0,则
f
(
x
)在此区间内没有单调
性.
(√)
(3)在(
a
,
b
)内
f
'(
x
)
≤
0且
f
' (
x
)=0的根有有限个,则
f
(
x
)在(
a
,
b
)内是减函数.
(√)
1.
已知函数
f
(
x
)
的导函数
f
'
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
的图象如图所示
,
则
f
(
x
)
的图象可能是
(
)
答案
D
由题图可知
,
当
x
<0
和
x
>
x
1
时
,
由导函数
f
'(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
<0,
知相
应的函数
f
(
x
)
在该区间上单调递减
;
当
0<
x
<
x
1
时
,
由导函数
f
'(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
>0
知相应的函数
f
(
x
)
在该区间上单
调递增.
2.下列函数中,在(0,+
∞
)上为增函数的是
( )
A.
f
(
x
)=sin 2
x
B.
f
(
x
)=
x
e
x
C.
f
(
x
)=
x
3
-
x
D.
f
(
x
)=-
x
+ln
x
答案
B 对于A,易得
f
(
x
)=sin 2
x
的单调递增区间为
(
k
∈
Z);对于B,
f
'(
x
)=e
x
(
x
+1),当
x
∈(0,+
∞
)时,
f
'(
x
)>0,∴函数
f
(
x
)=
x
e
x
在(0,+
∞
)
上为增函数;
对于C,
f
'(
x
)=3
x
2
-1,令
f
'(
x
)>0,得
x
>
或
x
<-
,∴函数
f
(
x
)在
和
上单调递增;
对于D,
f
'(
x
)=-1+
=-
,令
f
'(
x
)>0,得0<
x
<1,∴函数
f
(
x
)在区间(0,1)上单
调递增.综上所述,应选B.
3.函数
f
(
x
)=(
x
-3)e
x
的单调递增区间是
( )
A.(-
∞
,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+
∞
)
答案
D 由
f
(
x
)=(
x
-3)e
x
,得
f
'(
x
)=(
x
-2)e
x
,
令
f
'(
x
)>0,得
x
>2,故
f
(
x
)的单调递增区间是(2,+
∞
).
4.已知函数
f
(
x
)=
-(4
m
-1)
x
2
+(15
m
2
-2
m
-7)
x
+2在R上为单调递增函数,则
实数
m
的取值范围是
.
答案
[2,4]
解析
f
'(
x
)=
x
2
-2(4
m
-1)
x
+15
m
2
-2
m
-7,由题意可得
f
'(
x
)
≥
0在
x
∈R 上恒成
立,所以
Δ
=4(4
m
-1)
2
-4(15
m
2
-2
m
-7)=4(
m
2
-6
m
+8)
≤
0,解得2
≤
m
≤
4.
考点一 利用导数判断(证明)函数的单调性
典例1
已知函数
f
(
x
)=(
a
-1)ln
x
+
ax
2
+1.
讨论函数
f
(
x
)的单调性.
解析
f
(
x
)的定义域为(0,+
∞
),
f
'(
x
)=
+2
ax
=
.
当
a
≥
1时,
f
'(
x
)>0,故
f
(
x
)在(0,+
∞
)上单调递增;
当
a
≤
0 时,
f
'(
x
)<0,故
f
(
x
)在(0,+
∞
)上单调递减;
当0<
a
<1时,令
f
'(
x
)=0,解得
x
=
,则当
x
∈
时,
f
'(
x
)<0;当
x
∈
时,
f
'(
x
)>0,故
f
(
x
)在
上单调递减,在
上单
调递增.
考点突破
方法技巧
用导数法判断函数
f
(
x
)在(
a
,
b
)内的单调性的步骤:
①求
f
'(
x
).
②确定
f
'(
x
)在(
a
,
b
)内的符号.
③作出结论:
f
'(
x
)>0时为增函数;
f
'(
x
)<0时为减函数.
[提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解
集的影响进行分类讨论.
1-1
(2015重庆,19,12分)已知函数
f
(
x
)=
ax
3
+
x
2
(
a
∈R)在
x
=-
处取得极值.
(1)确定
a
的值;
(2)若
g
(
x
)=
f
(
x
)e
x
,讨论
g
(
x
)的单调性.
解析
(1)对
f
(
x
)求导得
f
'(
x
)=3
ax
2
+2
x
,
因为
f
(
x
)在
x
=-
处取得极值,所以
f
'
=0,
即3
a
·
+2
×
=
-
=0,解得
a
=
.
(2)由(1)得
g
(
x
)=
e
x
,
故
g
'(
x
)=
e
x
+
e
x
=
e
x
=
x
(
x
+1)(
x
+4)e
x
.
令
g
'(
x
)=0,解得
x
=0,
x
=-1或
x
=-4.
当
x
<-4时,
g
'(
x
)<0,故
g
(
x
)为减函数;
当-4<
x
<-1时,
g
'(
x
)>0,故
g
(
x
)为增函数;
当-1<
x
<0时,
g
'(
x
)<0,故
g
(
x
)为减函数;
当
x
>0时,
g
'(
x
)>0,故
g
(
x
)为增函数.
综上,知
g
(
x
)在(-
∞
,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+
∞
)内为增函数.
考点二 利用导数求函数的单调区间
典例2
已知函数
f
(
x
)=
+
-ln
x
-
,其中
a
∈R,且曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))
处的切线垂直于直线
y
=
x
.
(1)求
a
的值;
(2)求函数
f
(
x
)的单调区间.
解析
(1)对
f
(
x
)求导得
f
'(
x
)=
-
-
,由曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线
垂直于直线
y
=
x
,得
f
'(1)=-
-
a
=-2,解得
a
=
.
(2)由(1)知
f
(
x
)=
+
-ln
x
-
,则
f
'(
x
)=
,
令
f
'(
x
)=0,解得
x
=-1或
x
=5.
因
x
=-1不在
f
(
x
)的定义域(0,+
∞
)内,故舍去.
当
x
∈(0,5)时,
f
'(
x
)<0,故
f
(
x
)在(0,5)内为减函数;当
x
∈(5,+
∞
)时,
f
'(
x
)>0,
故
f
(
x
)在(5,+
∞
)内为增函数.
故函数
f
(
x
)的单调增区间为(5,+
∞
),单调减区间为(0,5).
方法技巧
利用导数求函数单调区间的两个方法
方法一:
(1)确定函数
y
=
f
(
x
)的定义域;
(2)求导数
y
'=
f
'(
x
);
(3)解不等式
f
'(
x
)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式
f
'(
x
)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
方法二:
(1)确定函数
y
=
f
(
x
)的定义域;
(2)求导数
y
'=
f
'(
x
),令
f
'(
x
)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
(3)把函数
f
(
x
)的间断点(即
f
(
x
)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根
按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数
f
(
x
)的定义区间分成
若干个小区间;
(4)确定
f
'(
x
)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内
的单调性.
2-1
已知函数
f
(
x
)=
ax
2
+1(
a
>0),
g
(
x
)=
x
3
+
bx
.
(1)若曲线
y
=
f
(
x
)与曲线
y
=
g
(
x
)在它们的交点(1,
c
)处有公共切线,求
a
,
b
的
值;
(2)当
a
2
=4
b
时,求函数
f
(
x
)+
g
(
x
)的单调区间.
解析
(1)
f
'(
x
)=2
ax
,
g
'(
x
)=3
x
2
+
b
.
因为曲线
y
=
f
(
x
)与曲线
y
=
g
(
x
)在它们的交点(1,
c
)处有公共切线,所以
f
(1)=
g
(1),且
f
'(1)=
g
'(1).
即
a
+1=1+
b
,且2
a
=3+
b
.
解得
a
=3,
b
=3.
(2)记
h
(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
).
当
a
2
=4
b
,即
b
=
a
2
时,
h
(
x
)=
x
3
+
ax
2
+
a
2
x
+1,
则
h
'(
x
)=3
x
2
+2
ax
+
a
2
.
令
h
'(
x
)=0,得
x
1
=-
,
x
2
=-
.
∵
a
>0,
∴
h
(
x
)与
h
'(
x
)的情况如下:
x
--
∞
,-
-
-
-
,-
-
-
-
,+
∞
h
'(
x
)
+
0
-
0
+
h
(
x
)
↗
↘
↗
∴函数
h
(
x
)的单调递增区间为
和
;单调递减区间
为
.
考点三 利用导数解决函数单调性的应用问题
命题角度一 已知函数的单调性求参数的取值范围
典例3
已知函数
f
(
x
)=
x
3
-
ax
-1.
(1)若
f
(
x
)在区间(1,+
∞
)上为增函数,求
a
的取值范围;
(2)若
f
(
x
)在区间(-1,1)上为减函数,求
a
的取值范围;
(3)若
f
(
x
)的单调递减区间为(-1,1),求
a
的值.
解析
(1)因为
f
'(
x
)=3
x
2
-
a
,且
f
(
x
)在区间(1,+
∞
)上为增函数,所以
f
'(
x
)
≥
0
在(1,+
∞
)上恒成立,即3
x
2
-
a
≥
0在(1,+
∞
)上恒成立,所以
a
≤
3
x
2
在(1,+
∞
)
上恒成立,所以
a
≤
3,即
a
的取值范围为(-
∞
,3].
(2)由题意得
f
'(
x
)=3
x
2
-
a
≤
0在(-1,1)上恒成立,所以
a
≥
3
x
2
在(-1,1)上恒成
立.因为-1<
x
<1,所以3
x
2
<3,所以
a
≥
3.即当
a
的取值范围为[3,+
∞
)时,
f
(
x
)
在(-1,1)上为减函数.
(3)由题意知
a
>0.∵
f
(
x
)=
x
3
-
ax
-1,∴
f
'(
x
)=3
x
2
-
a
.由
f
'(
x
)=0,得
x
=
±
,∵
f
(
x
)
在区间(-1,1)上为单调递减函数,
∴
=1,即
a
=3.
3-1
已知函数
y
=
f
(
x
),且其导函数
y
=
f
'(
x
)的图象如图所示,则该函数的图
象是
( )
答案 B 在(-1,0)上
f
'(
x
)大于0且单调递增,所以
f
(
x
)图象的切线斜率呈
递增趋势;在(0,1)上
f
'(
x
)大于0且单调递减,所以
f
(
x
)图象的切线斜率呈递
减趋势.故选B.
典例4
(1)若0<
x
1
<
x
2
<1,则
( )
A.
-
>ln
x
2
-ln
x
1
B.
-
x
1
D.
x
2
<
x
1
(2)已知函数
f
(
x
)(
x
∈R)满足
f
(1)=1,且
f
(
x
)的导数
f
'(
x
)<
,则不等式
f
(
x
2
)<
+
的解集为
.
答案
(1)C (2)(-
∞
,-1)
∪
(1,+
∞
)
解析
(1)令
f
(
x
)=
,则
f
'(
x
)=
=
.
当0<
x
<1时,
f
'(
x
)<0,
即
f
(
x
)在(0,1)上单调递减,
∵0<
x
1
<
x
2
<1,
命题角度二 比较大小或解不等式
∴
f
(
x
2
)<
f
(
x
1
),即
<
,
∴
x
2
>
x
1
,故选C.
(2)由题意构造函数
F
(
x
)=
f
(
x
)-
x
,
则
F
'(
x
)=
f
'(
x
)-
,
∵
f
'(
x
)<
,∴
F
'(
x
)=
f
'(
x
)-
<0,
即函数
F
(
x
)在R上单调递减.
∵
f
(
x
2
)<
+
,∴
f
(
x
2
)-
<
f
(1)-
,
∴
F
(
x
2
)<
F
(1),而函数
F
(
x
)在R上单调递减,
∴
x
2
>1,
即
x
∈(-
∞
,-1)
∪
(1,+
∞
).
方法技巧
1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(
a
,
b
)上单调,实际上就是在该区间上
f
'(
x
)
≥
0(或
f
'(
x
)
≤
0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求
出参数的取值范围.
(2)可导函数在区间(
a
,
b
)上存在单调区间,实际上就是
f
'(
x
)>0(或
f
'(
x
)<0)
在该区间上存在解集,即
f
'(
x
)
max
>0(或
f
'(
x
)
min
<0)在该区间上有解,从而转
化为不等式问题,求出参数的取值范围.
(3)若已知
f
(
x
)在区间
I
上的单调性,区间
I
上含有参数时,可先求出
f
(
x
)的
单调区间,令
I
是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.
2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为
先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.
3-2
(2017山东临沂期中)已知
f
(
x
)是定义在(0,+
∞
)上的函数,
f
'(
x
)是
f
(
x
)
的导函数,且总有
f
(
x
)>
xf
'(
x
),则不等式
f
(
x
)>
xf
(1)的解集为
( )
A.(-
∞
,0) B.(0,1)
C.(0,+
∞
) D.(1,+
∞
)
答案
B 由题意,
x
>0时,
f
(
x
)>
xf
'(
x
)
⇒
xf
'(
x
)-
f
(
x
)<0
⇒
<0
⇒
'<0,
∴
y
=
在(0,+
∞
)上单调递减;
∵
x
>0,∴
f
(
x
)>
xf
(1)
⇒
>
,
∴0<
x
<1.故选B.
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