2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版）（理） 11页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版）（理）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版 必修5全册+选修2-1第一章、第二章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知，则条件“”是条件“”的( )。‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时，不成立，∴充分性不成立，‎ 当、时成立，也成立，∴必要性成立，‎ ‎∴“”是条件“”的必要不充分条件，故选B。‎ ‎2．已知椭圆的一个焦点为，则的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程变形为，∵焦点在轴上，∴，解得，‎ 又，∴，解得则，故选D。‎ ‎3．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，∴，，，且，∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴当时前项和取最小值，故选C。‎ ‎4．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，‎ ‎∴，即，∴，即，又，∴，故选B。‎ ‎5．在中，内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，、、成等比数列，则，由得：，‎ 则，故选B。‎ ‎6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。‎ A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，‎ 设大夫得的鹿数为首项，且，公差为，‎ 则，解得，∴，∴簪裹得一鹿，故选B。‎ ‎7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，‎ 联立得：，令，得，‎ 即，不妨设，‎ 由双曲线的定义得，，‎ 则该双曲线的离心率为，故选C。‎ ‎8．设锐角的三个内角、、的对边分别为、、，且，，则周长的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵为锐角三角形，且，∴，‎ ‎∴，，又∵，∴，‎ 又∵，，∴，‎ 由，即，‎ ‎∴，令，则，‎ 又∵函数在上单调递增，∴函数值域为，故选C。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BC ‎【解析】两条渐近线的夹角为，∴或，又，，‎ 解得或，∴双曲线的标准方程为或，故选BC。‎ ‎10．在中，已知，则下列论断正确的是( )。‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】∵；∴，‎ 整理得，∴，‎ ‎∴不一定等于，A不正确，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，∴B正确，‎ ‎∵不一定成立，故C不正确，‎ ‎∵，又∵，‎ ‎∴，∴D正确，‎ 故选BD。‎ ‎11．若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由可知，‎ 当时，，‎ 解得，不符，舍去，‎ 当时，‎ ‎，‎ 即，解得或，符合，可取，‎ 故选AB。‎ ‎12．已知点为抛物线：的焦点，过点作直线交抛物线于、两点，设直线、、的斜率分别为、、，若、、成公差不为零的等差数列，则直线的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】焦点，设直线的方程为，代入抛物线得，‎ 设、，，，，‎ ‎∴或，又、、等差且公差不为零，‎ 则 ‎，‎ ‎，则，，解得或，‎ ‎∴直线方程为或，即或。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．命题“实数的平方都是正数”的否定是 。‎ ‎【答案】至少有一个实数的平方不是正数 ‎【解析】全称命题的否定一定是特称命题，“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字，‎ ‎∴全称命题的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”。‎ ‎14．己知，那么的最小值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，则，则，‎ ‎∴‎ 当且仅当即时取等号，∴最小值为。‎ ‎15．已知数列满足，()，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，∵，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ 则。‎ ‎16．在中，是边上的中线，。若，则 ；若，则的面积为 。(本小题第一个空2分，第二个空3分)‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】在中，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，∴，∴，‎ 又为边上的中点，则，∴为等边三角形，∴；‎ ‎∵，∴，，设，，则，‎ 在中，，则，‎ 即①，‎ 在中，，则，‎ 即②，‎ 联立①②得，代入①得，‎ 解得，即，则，‎ 则，，。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，角、、所对的边分别为、、，已知。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的取值范围。‎ ‎【解析】(1)在中，，‎ 由已知得：， 1分 即，∵，∴，， 3分 又∵，∴，∴； 5分 ‎(2)由余弦定理得：，∵，， 7分 ‎∴，又，于是有，即有。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，()。‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)当时，，当时，， 2分 经检验，当时，符合，综上，求数列的通项公式为； 3分 ‎(2)，则， 5分 ‎， 6分 ‎， 7分 上式减下式得：‎ ‎， 9分 ‎∴。 10分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，，是的平分线，点在线段上，且。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的面积。‎ ‎【解析】(1)在中，由正弦定理得：，即， 1分 在中，由正弦定理得：， 2分 则，即，‎ ‎∴，即， 4分 又，∴； 5分 ‎ (2)由(1)知，又，∴是锐角，∴， 6分 ‎∴，‎ ‎， 8分 在中，由正弦定理可得，‎ ‎∴， 10分 ‎∴。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎(1)求、的标准方程；‎ ‎(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)设抛物线：()，则有()， 1分 据此验证个点知，在抛物线上，易求：， 2分 设椭圆：()，‎ 把点，代入得：， 3分 解得，，∴的方程为：； 4分 ‎(2)设，，将代入椭圆方程，消去得：‎ ‎， 5分 ‎∴，即，① 6分 由根与系数关系得，则， 7分 ‎∴线段的中点的坐标为， 8分 又线段的垂直平分线的方程为， 9分 由点在直线上，得， 10分 即，∴， 11分 由①得，∴，即或，‎ ‎∴实数的取值范围是。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，。‎ ‎(1)试确定的值，使得为等差数列；‎ ‎(2)若，求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)由，可得，， 1分 ‎ 若数列为等差数列，则， 2分 即，解得， 3分 此时，，，‎ ‎∴， 4分 ‎∴，‎ 故当时，数列为等差数列； 5分 ‎ (2)当时，由，可得：‎ ‎ 当为偶数时， 6分 ‎ ‎ ‎， 8分 当为奇数时， 9分 ‎， 11分 ‎ 综上，。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，‎ ‎ ∵两圆相内切，∴，又，‎ ‎∴， 2分 ‎∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，， 3分 ‎∴、、，∴的轨迹方程为； 4分 ‎ (2)当轴时，有、，由得，‎ 又，∴、，‎ ‎∴， 6分 当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 联立得：， 8分 则，由得，‎ 即，‎ ‎∴， 10分 整理得：，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 综上所述，的面积为定值。 12分