2015年数学理高考课件9-3 用样本估计总体 42页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解分布的意义与作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．　 2 ．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．　 3. 能从样本数据中提取基本的数字特征 ( 如平均数、标准差 ) ，并给出合理的解释．　 4. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．　 5. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 第三节　用样本估计总体 作频率分布直方图的步骤 1 ．求极差 ( 即一组数据中 与 的差 ) ． 2 ．决定 与 ． 3 ．将数据 ． 4 ．列 ． 5 ．画 ． 最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 探究组距和组数的确定 (1) 组距的选择应力求 “ 取整 ” ，如果极差不利于分组 ( 如不能被组数整除 ) ，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围 ( 尽量使两端增加的量相同 ) ． (2) 数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数应越多．当样本容量不超过 100 时，按照数据的多少，常分成 5 至 12 组． 1 ．把样本容量为 20 的数据分组，分组区间与频数如下： [10,20) ， 2 ； [20,30) ， 3 ； [30,40) ， 4 ； [40,50) ， 5 ； [50,60) ， 4 ； [60,70] ， 2 ，则在区间 [10,50) 上的数据的频率是 ( 　　 ) A ． 0.05 　　　　　　　 B ． 0.25 C ． 0.5 D ． 0.7 解析： 在 [10,50) 上的数据为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 14( 个 ) 故在 [10,50) 上的频率为 14÷20 ＝ 0.7. 答案： D 2 ． (2014 年温州月考 ) 某大学对 1 000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于 70 分为合格，则合格人数是 ________ ． 解析： 不低于 70 分人数的频率为 (0.035 ＋ 0.015 ＋ 0.01) × 10 ＝ 0.6 ，故合格的人数是 1 000 × 0.6 ＝ 600. 答案： 600 频率分布折线图和总体密度曲线 1 ．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得频率分布折线图． 2 ．总体密度曲线：随着 的增加，作图时 增加， 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线． 中点 样本容量 所分组数 组距 茎叶图 用茎叶图表示数据有两个突出的优点： 一是茎叶图上没有 的损失，所有的 都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图可以在比赛时 ，方便 与 ． 原始信息 数据信息 随时记录 记录 表示 样本的数字特征 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1) 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3) 平均数是频率分布直方图的 “ 重心 ” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2 ．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 答案： C 答案： C 5 ．某学校为了解学生数学课程的学习情况，在 1 000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图 ( 如图 ) ．根据频率分布直方图可估计这 1 000 名学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生人数是 ________ ． 解析： 低于 60 分学生所占频率为 (0.002 ＋ 0.006 ＋ 0.012) × 10 ＝ 0.2 ，故低于 60 分的学生人数为 1 000 × 0.2 ＝ 200 ，所以不低于 60 分的学生人数为 1 000 － 200 ＝ 800. 答案： 800 频率分布直方图的应用 【 例 1】 　某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100] ． (1) 求图中 a 的值； (2) 根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ( x ) 与数学成绩相应分数段的人数 ( y ) 之比如下表所示，求数学成绩在 [50,90) 之外的人数 . 解析： 由图可知，最高小矩形底边中点的横坐标为该样本数据的众数，即 65. 茎叶图的应用 【 例 2】 　 (2013 年高考安徽卷 ) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩 ( 百分制 ) 作为样本，样本数据的茎叶图如下： 反思总结 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等． 变式训练 1. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 ________ ． 解析： 甲比赛得分的中位数为 28 ，乙比赛得分的中位数为 36 ，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 28 ＋ 36 ＝ 64. 答案： 64 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【 例 3】 　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中的环数分别是： 甲： 8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 ； 乙： 6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1) 分别计算两组数据的平均数； (2) 分别计算两组数据的方差； (3) 根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些． 反思总结 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小． 变式训练 2 ．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( 　　 ) A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案： C —— 统计图表问题的求解 从近两年高考看，用样本估计总体能较好地考查学生的数学应用意识，是高考的热点之一，主要考查频率分布直方图、茎叶图，用样本的数字特征估计总体数字特征，并出现统计与概率相结合的命题趋势，应重视． 【 典例 】 　 (2013 年高考广东卷 )( 本题满分 12 分 ) 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1) 根据茎叶图计算样本均值； (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？ (3) 从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率． [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 [ 常见失分探因 ] 正确读取茎叶图是解决 (1) 题的关键 _________________ [ 教你一个万能模板 ] _________________ 本小节结束 请按 ESC 键返回