高考文科数学复习备课课件：第二节　不等式的证明 21页

文数 课标 版 第二节　不等式的证明 1.比较法 (1)作差法( a 、 b ∈R): a - b >0 ⇔ ①      a > b      ; a - b <0 ⇔ a < b ; a - b =0 ⇔ a = b . (2)作商法( a >0, b >0):   >② 　1     ⇔ a > b ;   <1 ⇔ a < b ;   =1 ⇔ a = b . 教材研读 2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系 列的③ 　推理、论证     而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导 果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 ④ 　充分条件     ,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这是一种⑤ 　执果索因     的思考和证明方法. 3.反证法 先假设要证明的命题⑥ 　不成立     ,以此为出发点,结合已知条件,应用 公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦ 　推理     ,得到和命题的条 件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧ 　矛盾     的结论,以 说明假设⑨ 　不正确     ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. 4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩ 　放大     或   　缩小     ,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法. 5.平均值不等式 如果 a 1 、 a 2 、 … 、 a n 为 n 个正数,则   ≥   ,当且仅当 a 1 = a 2 = … = a n 时,等号成立. 附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证 法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.   1.已知 a , b ∈R + , a + b =2,则   +   的最小值为   (　　) A.1　    B.2　    C.4　    D.8 答案     B　∵ a , b ∈R + ,且 a + b =2, ∴( a + b )   =2+   +   ≥ 2+2   =4, ∴   +   ≥   =2, 即   +   的最小值为2(当且仅当 a = b =1时,“=”成立).故选B. 2.若 a , b , m ∈R + ,且 a > b ,则下列不等式一定成立的是   (　　) A.   ≥   　    B.   >   C.   ≤   　    D.   <   答案     B　∵ a , b , m ∈R + ,且 a > b , ∴   -   =   >0, 即   >   ,故选B. 3.若0< a < b <1,则 a + b ,2   , a 2 + b 2 ,2 ab 中最大的一个是   (　　) A. a + b 　    B.2   C. a 2 + b 2 　    D.2 ab 答案     A　易知 a + b >2   , a 2 + b 2 >2 ab ,故只需比较 a + b 与 a 2 + b 2 的大小即 可. ( a 2 + b 2 )-( a + b )= a ( a -1)+ b ( b -1), ∵0< a <1,0< b <1, ∴ a ( a -1)+ b ( b -1)<0, ∴ a 2 + b 2 < a + b .故选A. 4.设 a >0, b >0,若   是3 a 与3 b 的等比中项,求证:   +   ≥ 4. 证明 　由   是3 a 与3 b 的等比中项得3 a ·3 b =3,即 a + b =1. 要证原不等式成立, 只需证   +   ≥ 4, 即证   +   ≥ 2. 因为 a >0, b >0, 所以   +   ≥ 2   =2   当且仅当   =   ,即 a = b =   时,取等号   , 所以   +   ≥ 4. 考点一　比较法证明不等式 典例1　 设 a , b 是非负实数,求证: a 3 + b 3 ≥   ( a 2 + b 2 ). 证明　 ∵ a , b 是非负实数, ∴ a 3 + b 3 -   ( a 2 + b 2 )= a 2   (   -   )+ b 2   (   -   ) =(   -   )[(   ) 5 -(   ) 5 ]. 当 a ≥ b 时,   ≥   ,从而(   ) 5 ≥ (   ) 5 , 得(   -   )[(   ) 5 -(   ) 5 ] ≥ 0; 当 a < b 时,   <   ,从而(   ) 5 <(   ) 5 , 得(   -   )[(   ) 5 -(   ) 5 ]>0. 所以 a 3 + b 3 ≥   ( a 2 + b 2 ). 考点突破 方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤: (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常 将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断 出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且 第(3)步要判断商与1的大小. 1-1 　已知 a , b ∈(0,+ ∞ ),证明: a a b b ≥ ( ab   . 证明      a , b ∈(0,+ ∞ ),   =     =   , 当 a = b 时,   =1. 当 a > b 时,   >1,   >0, 则   >1. 当 b > a 时,0<   <1,   <0, 则   >1. 综上可知, a a b b ≥ ( ab   成立. 考点二　综合法与分析法证明不等式 典例2     (2015课标Ⅱ,24,10分)设 a , b , c , d 均为正数,且 a + b = c + d ,证明: (1)若 ab > cd ,则   +   >   +   ; (2)   +   >   +   是| a - b |<| c - d |的充要条件. 证明 　(1)因为(   +   ) 2 = a + b +2   ,(   +   ) 2 = c + d +2   ,且 a + b = c + d , ab > cd ,所以(   +   ) 2 >(   +   ) 2 . 因此   +   >   +   . (2)(i)若| a - b |<| c - d |, 则( a - b ) 2 <( c - d ) 2 , 即( a + b ) 2 -4 ab <( c + d ) 2 -4 cd . 因为 a + b = c + d ,所以 ab > cd . 由(1)得   +   >   +   . (ii)若   +   >   +   , 则(   +   ) 2 >(   +   ) 2 , 即 a + b +2   > c + d +2   . 因为 a + b = c + d , 所以 ab > cd . 于是( a - b ) 2 =( a + b ) 2 -4 ab <( c + d ) 2 -4 cd =( c - d ) 2 . 因此| a - b |<| c - d |. 综上,   +   >   +   是| a - b |<| c - d |的充要条件. 1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式 有:(1) a 2 ≥ 0;(2)| a | ≥ 0;(3) a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,它的变形形式有( a + b ) 2 ≥ 4 ab ,   ≥   等;(4)   ≥   ( a ≥ 0, b ≥ 0),它的变形形式有 a +   ≥ 2( a >0),   +   ≥ 2( ab >0),   +   ≤ -2( ab <0)等. 规律总结 2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆 求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而 不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正 确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”. 2-1     (2016辽宁沈阳模拟)设 a , b , c >0,且 ab + bc + ca =1.求证: (1) a + b + c ≥   ; (2)   +   +   ≥   (   +   +   ). 证明 　(1)要证 a + b + c ≥   , 由于 a , b , c >0, 因此只需证明( a + b + c ) 2 ≥ 3. 即证 a 2 + b 2 + c 2 +2( ab + bc + ca ) ≥ 3, 而 ab + bc + ca =1, 故只需证明 a 2 + b 2 + c 2 +2( ab + bc + ca ) ≥ 3( ab + bc + ca ). 即证 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca . 而这可以由 ab + bc + ca ≤   +   +   = a 2 + b 2 + c 2 (当且仅当 a = b = c 时等号成立)证得. 所以原不等式成立. (2)   +   +   =   . 在(1)中已证 a + b + c ≥   , 因此要证原不等式成立, 只需证明   ≥   +   +   , 即证 a   + b   + c   ≤ 1, 因为 a   =   ≤   , b   ≤   , c   ≤   , 所以 a   + b   + c   ≤ ab + bc + ca (当且仅当 a = b = c =   时等号成立). 所以原不等式成立. 考点三　放缩法证明不等式 典例3     求证:   -   <1+   + … +   <2-   ( n ∈N * 且 n ≥ 2). 证明 　∵ k ( k +1)> k 2 > k ( k -1)( k ∈N * 且 k ≥ 2), ∴   <   <   ,即   -   <   <   -   . 分别令 k =2,3, … , n 得   -   <   <1-   ,   -   <   <   -   , ……   -   <   <   -   ,将这些不等式相加得   -   +   -   + … +   -   <   +   + … +   <1-   +   -   + … +   -   ,即   -   <   +   + … +   <1-   , ∴1+   -   <1+   +   + … +   <1+1-   , 即   -   <1+   +   + … +   <2-   ( n ∈N * 且 n ≥ 2)成立. 方法技巧 (1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任 何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)利用放缩法证明不等式就是舍掉式中一些正项或负项,或者在分式 中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的 数 …… ,从而达到证明不等式的目的. 3-1 　证明:不等式1+   +   + … +   <2   ( n ∈N * ). 证明 　证法一:∵   -   =   >   ( k ∈N * ), ∴   <2(   -   ). 分别令 k =1,2,3, … , n ,则有   <2(   -   ),   <2(   -   ),   <2(   -   ), …… ,   <2(   -   ), 将这些式子相加可得1+   +   + … +   <2   ( n ∈N * ). 证法二:设 f ( n )=2   -   , 则由 f ( k +1)- f ( k )=2   -2   -   =   =   >0( k ∈N * ),得 f ( k +1)> f ( k ), ∴ f ( n )在 n ∈N * 上是增函数. ∴ f ( n ) ≥ f (1)=1>0. ∴1+   +   + … +   <2   ( n ∈N * ).