高二数学教案第2讲：直线方程 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 直线方程 教学内容 ‎1. 各种直线方程的推导，根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程.‎ ‎2. 清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性 ‎1、直线方程的定义：直线上所有点的坐标都满足方程，而以方程的所有解作为坐标的点都在直线上，这样就建立了直线上所有的点组成的集合与方程的解的集合之间这样对应关系。‎ 可以让学生讨论自己是如何理解这个概念的。‎ 教师引导：是直线大还是方程大，当直线和方程一样大的时候就是我们所说的直线方程 ‎2、点方向式方程 ‎（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着 ‎（2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即，时，直线通过某个点，把方程 ‎ ‎ 叫做直线的点方向式方程.‎ ‎【注】 所有与向量平行的向量都是直线的方向向量 ‎3、直线的点法向式方程 ‎（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着 ‎（2）点法向式方程：如果直线通过某个点，且与向量垂直的直线方程 叫做直线的点法向式方程.‎ ‎【注】 所有与向量平行的向量都是直线的法向量 ‎4、倾斜角的定义：若直线与轴相交于点，将轴绕点逆时针方向旋转至与直线重合时所成的 最小正角叫做直线的倾斜角。‎ ‎【注】：当直线与轴平行或重合（即与轴垂直）时，规定其倾斜角。所以根据定义，直线 的倾斜角的取值范围是.特别地，与轴垂直时，.‎ ‎5、 斜率：当时，记的正切值为，把叫做直线的斜率 ‎【注1】：当时，直线的斜率不存在.‎ ‎6、 直线的点斜式方程：已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程：为直线方程的点斜式. 直线的斜率时，直线方程为当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.‎ ‎7、 直线方程的一般形式： 点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成 (其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式，若方程可化为，它是直线方程的斜截式，表示斜率为，截距为的直线 ‎8、 理解方程中各字母及其系数的几何意义 直线的方程 方向向量 法向量 斜率 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知在三角形中，点B、C坐标分别为，向量，且与AC边平行，求的两条直角边所在的直线的方程.‎ 解 ：因为与向量平行，所以直线的点方向式方程是：‎ 又因为，所以是直线的法向量，所以直线的点方向式方程是：‎ 所以的两条直角边所在的直线的方程 ‎ 和 ‎ 结论：一般地，与直线平行的直线可设为；而与直线垂直的直线可设为.‎ 试一试：已知点和点是三角形的三个顶点，求 ‎（1）边所在直线方程；‎ ‎（2）边上的高所在直线方程.‎ 解：（1）因为边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点，所以边所在直线的点方向式方程为 ‎ ‎ ‎（2）因为边上的高所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点，所以高所在直线的点法向式方程为 ‎ ‎ 例2.（1）求过点且平行于直线的直线方程；‎ ‎ （2）求过点且垂直于直线的直线方程.‎ 解 （1）解一：，又直线过点，故直线的方程为化简得 ‎.‎ ‎ 解二：又直线过点，故直线的点法向式方程为化简得.‎ ‎ 解三：设与平行的直线方程为，又直线过点故，，所以直线的方程是.‎ ‎（2）解一：的法向量为所求直线的方向向量，又直线过点，故直线的方程为 化简得.‎ ‎ 解二：设与垂直的直线方程为，又直线过点故，，所以直线的方程是.‎ 教师讲解时根据学生的情况，适当选择适当的方法讲解 试一试：求满足下列条件的方程 ‎ (1)求经过点且与直线平行的直线方程；‎ ‎(2)求过点，且与直线垂直的直线的方程。‎ 解：(1)设与直线平行的直线的方程为：，‎ 因为过点，∴，解之得，‎ 所以，所求直线的方程为．‎ ‎(2)设与直线垂直的直线方程为，‎ ‎∵直线经过点，∴，∴，‎ 所以，所求直线的方程为 例3. 已知，直线过点且与线段相交，求：‎ ‎（1）直线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）直线的倾斜角的范围.‎ 解：（1）；‎ ‎（2）当时，倾斜角；当时，；又也符合题意，综上，.‎ 试一试：已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．‎ ‎（1）求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎（2）求直线l的倾斜角的取值范围．‎ 分析：如图，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有；当l的倾斜角大于90°时，则有．‎ 解：如图1，有分析知 ‎＝－1， ＝3．‎ ‎ ∴ （1）或． （2）arctan3．‎ 例4. 已知，若直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.‎ 解：设直线的倾斜角为才，则的倾斜角为.由得.由已知，即.解得，由得，故，直线的斜率为.‎ ‎[说明]倾斜角的范围是一个隐含的条件，由它得到的是一个舍解的条件.‎ 试一试：求直线的倾斜角的范围 解：设倾斜角为，由题意知斜率；‎ 当时，为钝角，，由，‎ 得；‎ 当时，为锐角，得；‎ 当时，；‎ 综上所述，倾斜角的取值范围是.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：D ‎ ‎2．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：A ‎ ‎3. 已知两定点，动点满足,如果，求动点P的坐标所满足的直线方程.‎ 解：显然，，则 所以又因为，‎ 则，即；‎ 于是，动点P的坐标所满足的直线方程为：‎ ‎4. 过点的直线与轴的正半轴和的正半轴分别交与两点，(1)若P点为的中点时，求的方程（2）当最小时，求的方程.‎ 解：（1）因为P点为的中点，所以，于是的方程为：.‎ ‎ （2）设，于是，所以 ‎，‎ 当且仅当时取等号，此时，于是直线的方程：.‎ 附加题：过点作直线，直线与的正半轴分别交于两点，为原点，求面积最小时，求直线的方程．‎ 解：由题意可得：设直线的斜率为，因为直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于A、B两点，所以得到．则直线的方程为：，令，得，所以）；令，得到，所以 所以, ‎ 因为,所以，，则有 当且仅当时，面积最小,此时所以直线的方程为 本节课主要知识点：‎ ‎1. 直线的4个基本形式，（斜截式，两点式，截距式这三种形式教师根据学生情况做适当拓展）‎ ‎2. 倾斜角的定义，斜率的定义，倾斜角与斜率之间的关系 ‎3. 直线几种形式之间的关系 ‎1. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：C ‎2. 直线＋y＋m=0的倾斜角范围是 ‎ 答案：‎ ‎3. 求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。‎ 解：设直线为交轴于点，交轴于点，‎ ‎ ‎ ‎ 得，或 ‎ 解得或 ‎ ‎ ，或为所求。‎ ‎1. 两直线的位置关系有哪些？通过上面方法能够判断两直线位置关系？‎ ‎2. 两向量的夹角公式是什么？两直线的夹角能否看成是两个向量的夹角？你能简单推算一下两直线的夹角公式吗？‎ ‎3. 两角差的正切公式是什么？直线的斜率等于倾斜角的正切值，那么两直线夹角能否看成是倾斜角的差？你能简单推算一下两直线的夹角公式吗？‎