2020高中数学 第二章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明习题 理 苏教版选修2-2 4页

第2节直接证明与间接证明 ‎（答题时间：60分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝ （cos2θ－sin2θ） （cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了 （ ）‎ A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法综合使用 D. 间接证明法 ‎2. 已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝ （n＝1，2，…），试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为 （ ）‎ A. 对任意的正整数n，有xn＝xn＋1‎ B. 存在正整数n，使xn≤xn＋1‎ C. 存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1‎ D. 存在正整数n，使 （xn－xn－1） （xn－xn＋1）≥0‎ ‎3. 要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 （ ）‎ A. 2ab－1－a2b2≤0‎ B. a2＋b2－1－≤0‎ C. －1－a2b2≤0‎ D. （a2－1） （b2－1）≥0‎ ‎4. 已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是 （ ）‎ A. <1 B. a2>b2‎ C. |a＋b|>|a－b| D. > ‎5. 已知函数f （x）＝x，a，b∈ （0，＋∞），A＝，B＝f （），C＝，则A、B、C的大小关系为 （ ）‎ A. A≤B≤C B. A≤C≤B C. B≤C≤A D. C≤B≤A ‎6. 设0a＋b，则a、b应满足的条件是________。 ‎ 三、解答题 ‎11. 已知a，b，c是不等正数，且abc＝1。‎ 求证：＋＋<＋＋。‎ ‎12. 已知：a>0，b>0，a＋b＝1。‎ 求证： ＋≤2。‎ 4‎ ‎1. 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论。‎ 故选B。‎ 答案：B ‎2. 解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋‎1”‎的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋‎1”‎，故选B。‎ 答案：B ‎3. 解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔ （a2－1） （b2－1）≥0，故选D。‎ 答案：D ‎4. 解析：<1⇔<0⇔a （a－b）>0。‎ ‎∵a>b，∴a－b>0。而a可能大于0，也可能小于0，‎ 因此a （a－b）>0不一定成立，即A不一定成立；‎ a2>b2⇔ （a－b） （a＋b）>0，‎ ‎∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；‎ ‎|a＋b|>|a－b|⇔ （a＋b）2> （a－b）2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；‎ 由于>⇔>0⇔ （a－b）·a2b2>0。‎ ‎∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确。故选D。‎ 答案：D ‎5. 解析：因为当a，b∈ （0，＋∞）时，≥≥，且函数f （x）＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A。‎ 答案：A ‎6. 解析：由题目易得1＋x>2>。‎ ‎∵ （1＋x） （1－x）＝1－x2<1，又00。‎ ‎∴1＋x<。‎ 答案：C ‎7. 解析：本题为全称命题，其否定为特称命题。‎ 答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角 ‎8. 解析：y2＝ （）2＝a＋b＝>＝x2。‎ 答案：xa＋b⇔ （－）2· （＋）>0⇔a≥0，b≥0且a≠b。‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎11. 证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋。‎ 4‎ ‎12. 证明：要证 ＋≤2。‎ 只要证：a＋＋b＋＋2≤4，‎ ‎∵由已知知a＋b＝1，‎ 故只要证： ≤1，‎ 只要证： （a＋） （b＋）≤1，‎ 只要证：ab≤，‎ ‎∵a>0，b>0，1＝a＋b≥2，∴ab≤，‎ 故原不等式成立。‎ 4‎