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- 2021-06-23 发布
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课时分层作业(二十八) 简单的三角恒等变换
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.函数f(x)=cos2,x∈R,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
D [原式=
=(1-sin 2x)
=-sin 2x,
此函数既不是奇函数也不是偶函数.]
2.已知=,则的值为( )
A. B.-
C. D.-
B [∵·===-1
且=,∴=-.]
3.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A=( )
【导学号:84352345】
A.- B.
C.- D.
A [sin2+cos 2A
=+2cos2A-1
=+2cos2A-1
7
=-.]
4.将函数y=f(x)sin x的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)的表达式是( )
A.f(x)=cos x B.f(x)=2cos x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2sin x
B [y=1-2sin2x=cos 2x的图象关于x轴对称的曲线是y=-cos 2x,向左平移得y=-cos=sin 2x=2sin xcos x,∴f(x)=2cos x.]
5.已知f(x)=2sin2x+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
【导学号:84352346】
A.2π, B.π,
C.2π, D.π,
B [∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x
=1+sin,
∴f(x)的最小正周期T==π,
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,
得f(x)的单调减区间为
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
当k=0时,得f(x)的一个单调减区间,故选B.]
二、填空题
6.设5π<θ<6π,cos=a,则sin的值等于________.
- [由sin2=,
∵θ∈(5π,6π),∴∈,
7
∴sin=-=-.]
7.化简下列各式:
(1)<α<,则=________.
(2)α为第三象限角,则-=________.
【导学号:84352347】
(1)sin α-cos α (2)0 [(1)∵α∈,∴sin α>cos α,
∴=
=
==sin α-cos α.
(2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,
∴-=-
=-=0.]
8.函数f(x)=cos 2x+4sin x的值域是________.
[-5,3] [f(x)=cos 2x+4sin x=1-2sin2x+4sin x=-2(sin x-1)2+3.
当sin x=1时,f(x)取得最大值3,
当sin x=-1时,f(x)取得最小值-5,
所以函数f(x)的值域为[-5,3].]
三、解答题
9.求证:tan-tan=.
【导学号:84352348】
[证明] 法一:(由左推右)tan-tan
=-
=
7
=
=
=
=.
法二:(由右推左)
=
=
=-=tan-tan.
10.已知向量a=(cos θ-2sin θ,2),b=(sin θ,1).
(1)若a∥b,求tan 2θ的值;
(2)f(θ)=(a+b)·b,θ∈,求f(θ)的值域.
【导学号:84352349】
[解] (1)∵a∥b,
∴cos θ-2sin θ-2sin θ=0,
∴cos θ=4sin θ,
∴tan θ=,
∴tan 2θ===.
7
(2)a+b=(cos θ-sin θ,3),
∴f(θ)=(a+b)·b=sin θcos θ-sin2θ+3=sin 2θ-+3=sin+,
∵θ∈,
∴∈,
∴sin∈,
∴2≤f(θ)≤,
∴f(θ)的值域为.
[冲A挑战练]
1.设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>b>a
A [∵a=sin 37°,b=tan 38°,
c=sin 36°,
∴b>a>c.]
2.设α∈,β∈,且=,则( )
A.2α+β= B.2α-β=
C.α+2β= D.α-2β=
B [由题意得sin α-sin αsin β=cos αcos β,
sin α=cos(α-β),
∴cos=cos(α-β).
∵-α∈,α-β∈,
7
∴-α=α-β或-α+α-β=0(舍去),
∴2α-β=.]
3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值是( )
A.1 B.2
C.+1 D.+2
B [f(x)=(1+tan x)cos x
=cos x=sin x+cos x
=2sin.
∵0≤x<,
∴≤x+<,
∴当x+=时,
f(x)取到最大值2.]
4.若θ是第二象限角,且25sin2 θ+sin θ-24=0,则cos =________.
【导学号:84352350】
± [由25sin2 θ+sin θ-24=0,
又θ是第二象限角,
得sin θ=或sin θ=-1(舍去).
故cos θ=-=-,
由cos2 =得cos2 =.
又是第一、三象限角,
所以cos =±.]
5.如图324,在直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y=x(x≥0)交于点Q,与x轴交于点M.记∠MOP=α,且α∈.
7
图324
(1)若sin α=,求cos∠POQ;
(2)求△OPQ面积的最大值.
【导学号:84352351】
[解] (1)由题意知∠QOM=,因为sin α=,
且α∈,所以cos α=,
所以cos∠POQ=cos
=coscos α+sinsin α=.
(2)由三角函数定义,得P(cos α,sin α),
从而Q(cos α,cos α),
所以S△POQ=|cos α||cos α-sin α|
=|cos2α-sin αcos α|
=
=
≤=+.
因为α∈,所以当α=-时,等号成立,
所以△OPQ面积的最大值为+.
7
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