2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第55练 空间的平行大题练 Word版含解析 5页

‎1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3.‎ ‎(1)求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎(2)求AB1与BD所成角的余弦值．‎ ‎2．(2019·广东省化州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝4，点E为线段PA的中点．‎ ‎(1)求证：PC∥平面BDE；‎ ‎(2)求三棱锥E－BCD的体积．‎ ‎3.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，E，F分别为PC，DC的中点，PA＝DC＝2AB＝2AD＝2.‎ ‎(1)证明：平面PAD∥平面EBF；‎ ‎(2)求三棱锥P－BED的体积．‎ ‎4．(2020·河北衡水模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．‎ 答案精析 ‎1．(1)证明　如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是平行四边形．‎ ‎∴点O为B1C的中点．‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD为△AB1C的中位线，‎ ‎∴OD∥AB1，‎ ‎∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，‎ ‎∴AB1∥平面BC1D.‎ ‎(2)解　由(1)可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，‎ 在Rt△ABC中，D为AC的中点，‎ 则BD＝＝，‎ 同理可得，OB＝，且OD＝AB1＝，‎ 在△OBD中，cos∠ODB＝＝，‎ ‎∴AB1与BD所成角的余弦值为.‎ ‎2.(1)证明　连接AC交BD于O，连接EO.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ 在△PAC中，O为AC中点，‎ 又∵E为PA的中点，∴EO∥PC.‎ 又∵PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE.‎ ‎∴PC∥平面BDE.‎ ‎(2)解　取AD的中点F，连接EF.‎ 则EF∥PD且EF＝PD＝2.‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，‎ ‎∴EF就是三棱锥E－BCD的高．‎ 在正方形ABCD中，S△BCD＝×42＝8.‎ ‎∴V三棱锥E－BCD＝×S△BCD×EF＝×8×2＝.‎ ‎3.(1)证明　由已知F为CD的中点，且CD＝2AB，所以DF＝AB，‎ 因为AB∥CD，所以AB∥DF，‎ 所以四边形ABFD为平行四边形，‎ 所以BF∥AD，‎ 又因为BF⊄平面APD，AD⊂平面APD，所以BF∥平面PAD.‎ 在△PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，‎ 所以EF∥PD，‎ 因为EF⊄平面APD，PD⊂平面APD，‎ 所以EF∥平面APD，‎ 因为EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，‎ 所以平面APD∥平面BEF.‎ ‎(2)解　由已知E为PC的中点，VP－BDC＝2VE－BDC 又因为VP－BDE＝VP－BDC－VE－BDC，‎ 所以VP－BDE＝·VP－BDC，‎ 因为S△BDC＝×1×2＝1，‎ VP－BDC＝S△BDC·AP ‎＝×1×2＝，‎ 所以VP－BDE＝.‎ ‎4．(1)证明　如图，连接BD，‎ 设BD与AC的交点为O，连接EO.‎ 因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以O为BD的中点，‎ 又因为E为PD的中点，‎ 所以EO∥PB，‎ 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)解　PC的中点G，即为所求的点．证明如下：‎ 如图，连接GE，FG，‎ 因为E为PD的中点，G为PC的中点，‎ 所以GE∥CD且GE＝CD，‎ 因为F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，‎ 所以FA＝CD且FA∥CD，则FA∥GE且FA＝GE，‎ 所以四边形AFGE为平行四边形，FG∥AE，‎ 因为FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，‎ 所以FG∥平面AEC.‎