高考数学专题复习：课时达标检测（四十七） 抛 物 线 5页

课时达标检测（四十七） 抛 物 线 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选D　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．‎ ‎2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)‎ A．3 B．‎4 C．7 D．13‎ 解析：选B　依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.‎ ‎3．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝.‎ ‎4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.‎ ‎5．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为 x2＝8y.‎ 答案：x2＝8y ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．4 D．6‎ 解析：选B　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心M(0,1)，半径r＝，圆心到准线的距离为，所以2＋2＝()2，解得p＝2.‎ ‎2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．4 D．8‎ 解析：选A　由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.‎ ‎3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则＋＝(　　)‎ A. B．‎1 ‎‎ C．2 D．4‎ 解析：选A　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线y＝k(x－2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则＋＝＋＝.联立直线与抛物线方程消去y，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.‎ ‎4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：选C　由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0‎ ‎＝4，M.由|MF|＝5得，＋＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.‎ ‎5．(2017·长春模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos 60°＝＝，由此得＝.‎ ‎6．已知抛物线y2＝2px(p>0)与圆(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一个公共点，则(　　)‎ A．r＝a＝p B．r＝a≤p C．r0)与抛物线y2＝2px(p>0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r>a时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r＝a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x－a)2＋2px＝r2(x≥0)有且仅有一个解x＝0，可得a≤p.‎ 二、填空题 ‎7．抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．‎ 解析：设抛物线的准线方程为x＝－(p>0)，则根据抛物线的性质有＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.‎ 答案：8‎ ‎8．(2017·邢台模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．‎ 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，则|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，所以|MM1|≥3，故M到x轴的最短距离为3－1＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2015·荆门质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．‎ 解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由化简得y2－4y－4＝0，解得y＝2＋4或y＝2－4，所以△AFB的边长为8＋4或8－4.‎ 答案：8＋4或8－4 ‎10．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为________．‎ 解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB‎1F，∠AFA1＝∠AA‎1F.又∠OFB1＝∠BB‎1F，∠OFA1＝∠AA‎1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，‎ 由题意得B(0,4)，M(0,2)．‎ 又∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－.‎ ‎∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，‎ 联立解方程组得x＝，y＝，‎ ‎∴点N的坐标为.‎ ‎12.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．‎ ‎(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．‎ 解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，‎ 则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．‎ 由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.‎ 又直线AB的斜率kAB＝＝，‎ 直线MN的斜率kMN＝＝，‎ ‎∴＝＝＝＝2.‎ 故直线AB与直线MN斜率之比为定值．‎