2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第71练 抛物线 Word版含解析 5页

‎1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D. ‎2．(2020·福州质检)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为(　　)‎ A. B．2 C. D．3‎ ‎3．(2020·鹤岗一中月考)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎4．(2019·江西临川一中、师大附中等九校联考)已知点A，B是抛物线C：y2＝4x上的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F，若线段AB的中点到y轴的距离为3，则|AB|等于(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x ‎6．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)‎ A. B. C. D．3 ‎7．(多选)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)‎ A．(0，－4) B．(0，－2)‎ C．(0,2) D．(0,4)‎ ‎8．(多选)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)‎ A.＋＝－ B．存在λ∈R，使得＝λ成立 C.·＝0‎ D．准线l上任意一点M，都使得·>0‎ ‎9．(2020·江西名师联盟调研)点M(2,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为_________．‎ ‎10．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AB|的最小值为________，|AC|＋|BD|的最小值为________．‎ ‎11．(2020·深圳南山区联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|‎ B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|‎ D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2‎ ‎12．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝x ‎13．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为(　　)‎ A. B．2 C．2 D．4‎ ‎15．(2019·湖南桃江县联考)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是______．‎ ‎16．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.‎ 答案精析 ‎1．D　2.B　3.A　4.D　5.C　6.C　7.BC ‎8．ABC　9.或　10.4　2　11.C ‎12．A ‎13．D　[抛物线的焦点F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y＝－1，则点M到准线的距离d＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝3(易知等号能取到)，即点M到准线的距离的最小值为3，所以点M到x轴的最短距离为2.故选D.]‎ ‎14．B　[如图所示，抛物线C：x2＝4y，准线l的方程为y＝－1，‎ 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由y＝x2，‎ 得y′＝x，‎ 切线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，‎ 即y＝x1x－y1，‎ 又切线PA过点P(x0，－1)，代入得－1＝x1x0－y1，‎ 整理得x1x0－2y1＋2＝0；‎ 同理切线PB的方程为x2x0－2y2＋2＝0，‎ ‎∴直线AB的方程为xx0－2y＋2＝0，‎ 直线AB过定点F(0,1)，‎ ‎∴S△AOB＝·|OF||x1－x2|＝|x1－x2|.‎ 联立直线AB方程与抛物线方程得，－x0x－2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，‎ ‎∴|x1－x2|＝＝.‎ S△AOB＝≥×4＝2，当且仅当直线AB⊥y轴时取等号，‎ ‎∴△AOB面积的最小值为2.]‎ ‎15. 解析　设抛物线y2＝2x的焦点为F，‎ 则|PF|＝|PM|＋，∴|PM|＝|PF|－.‎ ‎∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－.‎ 将x＝代入抛物线方程y2＝2x，‎ 得y＝±.‎ ‎∵<4，∴点A在抛物线的外部．‎ ‎∴当P，A，F三点共线且P在线段AF上时，|PA|＋|PF|有最小值|AF|.‎ ‎∵F，‎ ‎∴|AF|＝＝5.‎ ‎∴|PA|＋|PM|有最小值5－＝.‎ ‎16. 解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，‎ 则|AF|＝xA＋1＝3，‎ 所以xA＝2，yA＝2，‎ 所以直线AB的斜率为k＝＝2，‎ 则直线AB的方程为y＝2(x－1)，‎ 与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，‎ xA＋xB＝，所以xB＝，‎ 所以|BF|＝xB＋＝＋1＝.‎