2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练12 三角化简和求值 19页

考点12 三角化简和求值 ‎【考点分类】‎ 热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 ‎1. （2012年高考（重庆文））（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】‎ 若，则.‎ ‎3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设为第二象限角，若=，则_________.‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知函数,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值； ‎ ‎(Ⅱ) 若,,求．‎ ‎5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知函数 （1） 求的值；‎ （2） 求使 成立的的取值集合.‎ 所以，；所以x的取值集合为.‎ ‎【方法总结】‎ 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.‎ ‎(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ ‎(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.‎ 热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值 ‎6. 【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知sin2α=，则cos2(α+)=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知是第二象限角，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若，则（ ） ‎ A． B． C ． D．‎ ‎10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. （2012年高考（江西文））若,则tan2α= （　　）‎ A．- B． C．- D．‎ ‎12. （2012年高考（山东理））若,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎,所以,‎ ‎13. （2012年高考（江西理））若tan+ =4,则sin2= （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设，，则的值是____________.‎ ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】‎ 已知函数.‎ ‎（I）若是第一象限角，且.求的值；‎ ‎（II）求使成立的x的取值集合.‎ ‎【方法总结】‎ 一、利用诱导公式化简求值时的原则 ‎1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．‎ ‎2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．‎ ‎3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．‎ ‎4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.‎ 二、利用倍角公式化简求值 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点．‎ ‎2．考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．‎ ‎3．考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. ‎ 二．命题方向 ‎1．考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.‎ ‎2.公式逆用、变形应用是高考热点．‎ ‎3.题型以选择题、解答题为主.‎ 三．规律总结 基础梳理 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；‎ ‎(2)商数关系：＝tan α.‎ ‎2．诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.‎ 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，‎ tan(π＋α)＝tan α.‎ 公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.‎ 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.‎ 公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α.‎ 公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α ‎3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；‎ ‎(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；‎ ‎(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；‎ ‎(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；‎ ‎(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ ‎(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.‎ ‎4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ ‎(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)T2α：tan 2α＝.‎ ‎5．有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎6．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．‎ 一个口诀 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．‎ 三种方法 在求值与化简时，常用方法有：‎ ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．‎ ‎(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．‎ ‎(3)巧用“‎1”‎的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….‎ 三个防范 ‎(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．‎ 特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ ‎(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．‎ 两个技巧 ‎(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.‎ ‎(2)化简技巧：切化弦、“‎1”‎的代换等．‎ 三个变化 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】‎ 已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 【河北省唐山一中、衡水一中2013届高三4月联考】若为第三象限角，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．3 ‎ ‎3. 【湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试】的值属于区间（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】 已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎∴‎ ‎5.【2013届河北省重点中学联合考试】已知，，则（ ） ‎ A．-2 B．‎-1 ‎‎ C． D．‎ ‎6.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知 .‎ ‎8. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】已知，则 ‎= .‎ ‎9. 【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】 ．‎ ‎10. 【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷】已知，则的值为 .‎ 二．能力拔高 ‎11. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】已知若[来源:学科网ZXXK]‎ ‎，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】设，，则的值（　　）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎13. 【山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试】已知角α的终边经过点等于（ ）‎ ‎ A． B． C．—4 D．4‎ ‎14. 【山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试】等于（ ）‎ ‎ A．4 B．—4 C． D．—[来源:学科网ZXXK]‎ ‎15. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】已知，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知故选B.‎ ‎16. 【天津一中2012—2013学年高三数学一月考】已知,且,则_________.‎ ‎17. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】 已知，则_____________________.‎ ‎18. 【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】（本小题满分12分）‎ 已知且，求.‎ ‎19. 【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】已知角,构成公差为的等差数列.若， 则=__________.‎ ‎20. 【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】设，且．则的值 为 ．‎ 三．提升自我 ‎21. 【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】（本小题满分13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎（Ⅰ）由 ………………1分 ‎ ‎ ‎22. 【山东省东阿县第一中学2012-2013学年度上学期考试】（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．‎ ‎23. 【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】（本小题共12分）已知函数，是的导函数．‎ ‎（1）求函数的最小值及相应的值的集合；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎∴． …… 12分 ‎24. 已知函数f(x)=x2-kx +1,若存在,使f(sina)=f(cosa).‎ ‎(I)当k=-时,求tana的值；‎ ‎(II)求实数k的取值范围.‎ ‎25. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）在中，若，求的最大值.‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. 已知函数，若，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．（其中k∈Z）‎ ‎2.已知，sin()=－ sin则cos=________.‎ ‎3.已知，且，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ ‎5.如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ ‎ 的面积为，△的面积为．若，求角的值． [来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 ，． ………………2分 ‎ 因为 ，，‎ ‎ 所以 ． ………………3分 ‎ 所以 ． ………………5分