备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：关于线线、线面及面面垂直的问题 11页

关于线线、线面及面面垂直的问题 典型例题： ‎ 例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】‎ ‎ A．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ C．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。‎ ‎【解析】 如图，⊥，⊥，依题意，，，==，‎ ‎。‎ ‎ A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则∵⊥，∴⊥平面，从而⊥，这与已知矛盾，排除A；‎ B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，平面⊥平面。取中点，连接，则⊥，∴∠就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故B正确；‎ C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，从而平面⊥平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除C；‎ D，由上所述，可排除D。‎ 故选 B。‎ 例2. （2012年全国课标卷文12分）如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 ‎(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。‎ ‎【答案】解：(Ｉ)证明：∵由题设，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，‎ ‎∴BC⊥CC1，BC⊥AC，CC‎1‎AC=C，∴BC⊥平面ACC‎1A1。‎ ‎ 又∵DC1平面ACC‎1A1，∴DC1⊥BC。‎ ‎ ∵由题设，AC=BC，=AA1，D是棱AA1的中点，‎ ‎∴∠A1DC1=∠ADC=450，∴∠CDC=900，即DC1⊥DC。‎ 又∵DCBC=C，∴DC1⊥平面BDC。‎ 又∵DC1平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC。‎ ‎（Ⅱ）设棱锥B－DACC1的体积为V1，，则。‎ ‎ 又∵三棱柱ABC－A1B‎1C1的体积，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。‎ ‎【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。‎ ‎【解析】(Ｉ)要证明平面BDC1⊥平面BDC，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得DC1⊥BC，DC1⊥DC，由DCBC=C得DC1⊥平面BDC，而DC1平面BDC1，因此平面BDC1⊥平面BDC。‎ ‎ （Ⅱ）求出三棱柱ABC－A1B‎1C1的体积和棱锥B－DACC1的体积即可求得结果。‎ 例3. （2012年北京市理14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1C⊥CD，如图2.‎ ‎（1）求证：A‎1C⊥平面BCDE；‎ ‎（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 ‎【答案】解：（1）∵CD⊥DE，A1E⊥DE，，∴DE⊥平面A1CD。‎ 又∵A‎1C平面A1CD ，∴A‎1C⊥DE。‎ 又∵A‎1C⊥CD，∴A‎1C⊥平面BCDE。‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，则[来源:Z+xx+k.Com]‎ B（0，3，0），C（0，0，0），D（－2，0，0），E（－2。2。0），A1（0，0，）。‎ ‎∴。‎ 设平面A1BE法向量为，‎ 则，即，∴。‎ ‎∴‎ 又∵M是A1D的中点，∴M（－1，0，）。∴。‎ 设CM与平面A1BE法向量所成角为，则 ‎∴。‎ ‎∴CM与平面A1BE所成角为。‎ ‎（3）设线段BC上点P，设P点坐标为，则。‎ 则 设平面A1DP法向量为 则 ∴。∴。‎ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，即 ‎，解得。与不符。‎ ‎∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。‎ ‎【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。‎ ‎【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。‎ ‎ （2）建立空间直角坐标系可易解决。‎ ‎ （3）用反证法，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。‎ 例4. （2012年北京市文14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图2。‎ （1） 求证：DE∥平面A1CB；‎ （2） 求证：A‎1F⊥BE；‎ （3） 线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵在图1 Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ ∴DE∥BC。‎ ‎ ∵在图2中，DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB。‎ ‎ （2）证明：∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，∴DE⊥平面A1CD。‎ ‎∵A‎1F平面A1CB，∴DE⊥A‎1F。‎ ‎ 又∵A‎1F⊥CD，CD∩DE=D，CD平面BEDC，DE平面BEDC，∴A‎1F⊥平面BEDC。‎ ‎ 又∵BE平面BEDC，∴A‎1F⊥BE，‎ ‎ （3）线段A1B上存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ，点Q为A1B的中点。理由如下：‎ ‎ 取A‎1C中点P，连接DP，QP。‎ ‎ ∵PDCB，DECB ，∴PDDE。‎ ‎ ∴DEQP是平行四边形，∴D、E、Q、P四点共面。‎ ‎ 由（2）知，DE⊥平面A1CD，又A‎1C平面A1CD，∴DE⊥A‎1C。‎ ‎ ∵P，Q是A1B和A‎1C的中点，∴PQ∥CB∥DE。∴PQ ⊥A‎1C。‎ 又∵AD=CD，A1P=CP，∴PD⊥A‎1C 。‎ 又∵PQ∩PD=P， ∴A‎1C⊥平面PQD，即A‎1C⊥平面DEQ。‎ ‎【考点】线面平行，线线垂直，线面垂直的判定，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质。‎ ‎【解析】（1）由线面平行的判定理直接证出。‎ ‎ （2）要证两异面直线垂直，就要证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。因此考虑证明A‎1F⊥平面BEDC即可。‎ ‎ （3）在线段A1B上找出使A‎1C⊥平面DEQ的点Q，进行证明。‎ 例5. （2012年安徽省文12分） 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）如果=2,=, , 求 的长。‎ ‎【答案】解；（I）连接。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∵，∴共面。‎ ‎∵长方体中，底面是正方形，‎ ‎∴。‎ ‎∴面。∴。‎ ‎（Ⅱ）连接。‎ ‎∵在矩形中，，‎ ‎∴。 ∴。‎ ‎∴，解得。‎ ‎【考点】两直线的位置，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【解析】（I）要证，只要面即可。一方面，由正方形的性质有，另一方面由长方体的性质有，且和是相交的，从而面。‎ ‎ （Ⅱ）由，根据角的转换可知，从而根据相似三角形的性质可由对应边比求出 的长。‎ 例6. （2012年江西省文12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.‎ ‎（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；‎ ‎（2）求多面体CDEFG的体积。‎ ‎【答案】解：（1）证明：在平面图中，∵AB∥CD，DE⊥EF，CF⊥EF，∴四边形CDEF为矩形。‎ ‎∵DE⊥AB，AD=5，DE=4，BC=4，∴AE=3，BF=4。‎ ‎∵AB=12，∴EF=5。‎ ‎∵将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG，‎ ‎∴GE=AE=3，GF=BF=4。‎ 在△EFG中，有，∴EG⊥GF。‎ 又∵CF⊥EF，CF⊥FG，EF∩FG=F，∴CF⊥平面EFG。‎ 又∵EG平面EFG，∴CF⊥EG。∴EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG。‎ ‎（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，‎ 则。‎ ‎∵平面CDEF⊥平面EFG，∴GH⊥平面CDEF，.‎ ‎∴。‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定，棱锥的体积。‎ ‎【解析】（1）判断四边形CDEF为矩形，然后证明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后证明平面DEG⊥平面CFG。‎ ‎（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，求出GH，说明GH⊥平面CDEF，利用 求出体积。‎ 例7. （2012年湖北省文12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线B1D1⊥平面ACC‎2A2；‎ ‎（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2的侧面是全等的矩形，‎ ‎∴AA2⊥AB，AA2⊥AD。‎ 又∵AB∩AD＝A，∴AA2⊥平面ABCD。‎ 连接BD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴AA2⊥BD。‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD。‎ 根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，‎ 又已知平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B‎1C1D1＝B1D1，‎ ‎∴B1D1∥BD。‎ ‎∴由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1。‎ 又∵AA2∩AC＝A，∴B1D1⊥平面ACC‎2A2。‎ ‎（Ⅱ）∵四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，‎ ‎∴S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)。‎ 又∵四棱台A1B‎1C1D1－ABCD的上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，‎ ‎∴S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×(AB＋A1B1)h等腰梯形的高 ‎＝202＋4×(10＋20)＝1 120(cm2)．‎ ‎∴该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)。‎ ‎∴所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱台的侧面积和表面积。‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC‎2A2。（Ⅱ）需计算上面四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱台A1B‎1C1D1-ABCD 的表面积（除去下底面的面积）S2即可。‎ 例8. （2012年福建省文12分） 如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．‎ ‎（I）求三棱锥A－MCC1的体积；‎ ‎（II）当A‎1M＋MC取得最小值时，求证：B‎1M⊥平面MAC. ‎ ‎【答案】解：（I）由长方体ABCD－A1B‎1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，‎ ‎∴点A到平面CDD‎1C1的距离等于AD＝1。‎ 又∵==×2×1=1，‎ ‎∴ 。‎ ‎（II）将侧面CDD‎1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD‎1A1共面(如图)，‎ 当A1，M，C共线时，A‎1M＋MC取得最小值。‎ 由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．‎ 连接C‎1M，‎ 在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2，‎ ‎∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1。‎ 又由长方体ABCD－A1B‎1C1D1知，B‎1C1⊥平面CDD‎1C1，‎ ‎∴B‎1C1⊥CM。‎ 又B‎1C1∩C‎1M＝C1，∴CM⊥平面B‎1C1M，得CM⊥B‎1M。‎ 同理可证，B‎1M⊥AM。‎ 又AM∩MC＝M，∴B‎1M⊥平面MAC。‎ ‎【考点】棱锥的体积，直线与直线、直线与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（I）由题意可知，A到平面CDD‎1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求。‎ ‎（II）侧面CDD‎1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD‎1A1共面，当A1，M，C共线时，A‎1M＋MC取得最小值．易证CM⊥平面B‎1C1M，从而CM⊥B‎1M，同理可证，B‎1M⊥AM，问题得到解决。‎ 例13. （2012年陕西省文12分）直三棱柱ABC- A1B‎1C1中，AB=A A1 ， ‎ ‎（Ⅰ）证明; ‎ ‎（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥的体积[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（I）连接AB1，‎ ‎∵ABC-A1B‎1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB‎1A1。‎ 又∵平面ABC∩平面ABB‎1A1=AB，AC⊥AB，‎ ‎∴AC⊥平面ABB‎1A1。‎ ‎∵BA1⊂平面ABB‎1A1，∴AC⊥BA1。‎ ‎∵矩形ABB‎1A1中，AB=AA1，∴四边形ABB‎1A1是正方形。∴AB1⊥BA1。‎ 又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，∴BA1⊥平面ACB1。‎ ‎∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1。‎ ‎ （II）∵AB=2，BC=∴Rt△ABC中，。‎ ‎∴直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，A‎1C1=AC=1。‎ 又∵AC∥A‎1C1，AC⊥平面ABB‎1A1，∴A‎1C1是三棱锥C1-ABA1的高。‎ ‎∵△ABA1的面积等于正方形ABB‎1A1面积的一半，∴S△ABA1=AB2=2。‎ ‎∴三棱锥C1-ABA1的体积为V=×S△ABA1×A‎1C1=。‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质，三棱锥的体积。‎ ‎【解析】（I）连接AB1，根据ABC- A1B‎1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB‎1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB‎1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB‎1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1。‎ ‎（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到。又因为直三棱柱ABC- A1B‎1C1中，A‎1C1=AC=1且AC⊥平面ABB‎1A1，得到A‎1C1是三棱锥C1-ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB‎1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1-ABA1的体积为 。‎