2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练21 数列的综合应用 34页

考点21 数列的综合应用 ‎【考点分类】‎ 热点一 等差数列与等比数列的综合应用 ‎1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设是首项为，公差为的等差数列（），是前 项和. 记，，其中为实数.‎ ‎（1）若，且，，成等比数列，证明：；‎ ‎（2）若是等差数列，证明.‎ ‎3.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】‎ 已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 证明. ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】‎ 设Sn表示数列的前n项和. ‎ ‎ (Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 并证明你的结论.‎ 所以,是首项,公比的等比数列.‎ ‎5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】‎ 已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎6．（2012年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)证明:对任意,成等差数列.‎ 解:(1)设数列的公比为() ‎ ‎7.（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.‎ ‎(I)求数列与的通项公式;‎ ‎(II)记()证明:.‎ ‎8．（2012年高考（湖北文））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.‎ ‎(1) 求等差数列的通项公式;‎ ‎(2)若成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎【方法总结】‎ 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．要解决等差等比数列的综合问题，必须对两种数列的各知识点、方法熟练掌握；对非等差等比数列，可设法转化为等差、等比数列问题.常用的等差、等比对应重要性质对比如下：‎ ‎1.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列；‎ ‎2.在等差数列中，若.特别地,当时,有；‎ 在等比数列中，若.特别地,当时,有；‎ ‎3.若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；‎ ‎4.等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；‎ 等比数列中 仍是等比数列；‎ 热点二 数列与函数相结合 ‎9.（2012年高考（四川文））设函数,是公差不为0的等差数 列,,则（　　）‎ A．0 B．‎7 ‎C．14 D．21.‎ ‎10.（2012年高考（上海文））若,则在中,正数的个数是 （　　）‎ A．16. B．72. C．86. D．100.‎ ‎11．（2012年高考（湖北文））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函 数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的 的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④. ‎ ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 设数列满足，,且对任意 ‎，函数 ，满足 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.（2012年高考（四川文））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与 的大小,并说明理由.‎ ‎14.（2012年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;‎ ‎(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎15.（2012年高考（大纲理））函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎ ① ② ‎ ‎【方法总结】‎ 解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．数列与函数的迭代问题：由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.‎ 热点三 数列与不等式相结合 ‎16.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】在正项等比数列中，，. 则满足 的最大正整数的值为 .‎ ‎17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】‎ 设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】正项数列{an}的前n项和Sn满足：‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n N*，都有Tn＜‎ ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】‎ 已知等比数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】‎ 给定常数，定义函数，数列满足.‎ ‎（1）若，求及；‎ ‎（2）求证：对任意；‎ ‎（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【方法总结】‎ 从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩. ‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．‎ ‎2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．‎ ‎3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．‎ 二．命题方向 ‎1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．‎ ‎2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．‎ 三．规律总结 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．‎ ‎ 两个提醒 ‎(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．‎ ‎(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．‎ 三种思想 ‎(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．‎ ‎(2)数列与不等式结合时需注意放缩．‎ ‎(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于( )‎ A.1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎2. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 【上海市奉贤2013届高三一模】已知Sn是等差数列{an}(nÎN*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是( )‎ ‎(A)公差d<0 (B)在所有Sn<0中，S13最大 ‎ ‎(C)满足Sn>0的n的个数有11个 (D)a6>a7‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎4. 【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（ ）‎ A. B‎.1 C.或1 D.‎ ‎【答案】A[来源:学#科#网]‎ ‎【解析】若，则3+6=9，得=0，而等比数列任何一项都不为0，故；‎ 所以，换元解方程得=或1（舍）‎ ‎5. 【2013届河北省重点中学联合考试】己知数列{}为等比数列，且，设等差数列{}的前n项和为Sn，若，则＝ .‎ ‎6. 【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】等差数列中， ，等比数列中，，则____.‎ ‎7. 【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .‎ ‎8. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 在数列中，，则数列中的最大项是第 项。‎ ‎【答案】6或7‎ ‎9. 【上海市2013届高考闵行二模卷】公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，，则n+d 的最小值等于 .‎ ‎10. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】已知等差数列的前项和为，若2，4，成等比数列，则=_________.‎ 二．能力拔高 ‎11. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，是1为首项、2为公比的等比数列．设， ，则当Tn>2013时，n的最小值是（ ）‎ ‎（A）7 （B）9 　（C）10 （D）11‎ ‎12. 【上海市2013届高考二模卷】 数列{an}前n项和为Sn，已知a1=，且对任意正整数m、n，‎ 都有am+n=am×an，若Sn