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- 2021-06-24 发布
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考点 33:立体几何中的综合问题
【考纲要求】
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
【命题规律】
立体几何综合问题是高考的热点问题,选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计 2018 年
的高考对本知识的考查空间向量的应用,仍然是以简单几何体为载体.【典型高考试题变式】
(一)构造函数在导数问题中的应用
例 1.【2015 广东卷(理)】若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( )
A.至多等于 3 B.至多等于 4 C.等于 5 D.大于 5
【答案】B
在空间中,4 个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;
若 n>4,由于任三点不共线,当 n=5 时,考虑四个点构成的正四面体,
第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,
由三角形的两边之和大于三边,故不成立;
同理 n>5,不成立.
故选:B.
【方法技巧归纳】本题考查空间几何体的特征,主要考查空间两点的距离相等的情况,注意
结合外接球和三角形的两边与第三边的关系,属于中档题和易错题.
【变式 1】【改编例题条件】【2018 届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点M 是棱长
为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱 AD的中点,点P在面 1 1BCC B 所在的平面内,若平面
1D PM 分别与平面 ABCD和平面 1 1BCC B 所成的锐二面角相等,则点 P到点 1C 的最短距离
是( )
A.
2 5
5
B.
2
2
C. 1 D.
6
3
【答案】A
【解析】设P在平面 ABCD上的射影为 ',P M 在平面 1 1BBC C上的射影为 'M ,平面 1D PM 与
平面 ABCD和平面 1 1BCC B 成的锐二面角分别为 ,B ,则 1
1 1
''cos ,cos PM CDP M
D PM D PM
SS B
S S
,
1' 'cos cos , DP M PM CB S S ,设 P到 1 'C M 距离为 d,则
1 1 2 55 1 2,
2 2 5
d d ,即点P在与直线 1 'C M 平行且与直线距离为
2 5
5
的直线
上, P 到 1C 的最短距离为
2 5
5
d ,故选 A.
【变式 2】【改编例题条件和问法】【2017 届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如
图,直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 1 2AA , 1AB BC , 90ABC ,外接球的球
心为O,点 E是侧棱 1BB 上的一个动点.有下列判断:
① 直线 AC与直线 1C E是异面直线;② 1AE一定不垂直 1AC ;
③ 三棱锥 1E AAO 的体积为定值; ④ 1AE EC 的最小值为2 2 .
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】如图,
∵直线 AC经过平面 BCC1B1内的点 C,而直线 C1E 在平面 BCC1B1内不过 C,∴直线 AC与直线 C1E 是
异面直线,故①正确;
当 E 与 B 重合时,AB1⊥A1B,而 C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面 AB1C1,则 A1E 垂直 AC1,故②错误;
由题意知,直三棱柱 ABC−A1B1C1的外接球的球心为O是 AC1 与 A1C 的交点,则△AA1O的面积为定
值,由 BB1∥平面 AA1C1C,
∴E 到平面 AA1O 的距离为定值,∴三棱锥 E−AA1O 的体积为定值,故③正确;
设 BE=x,则 B1E=2−x,∴ 22
1 1 1 2AE EC x x .由其几何意义,即平面内动点
(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为 2 2,故④正确。
∴正确命题的个数是 3 个。
本题选择 C 选项.
(二)立体几何中的体积问题
例 2.【2014 江西卷(理)】如图,四棱锥 ABCDP 中, ABCD为矩形,平面 PAD 平面
ABCD.
(1)求证: ;PDAB
(2)若 ,2,2,90 PCPBBPC 问 AB 为何值时,四棱锥 ABCDP 的体积最大?
并求此时平面 PBC与平面DPC夹角的余弦值.
【解析】
试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD 为矩形,故 AB AD,又平面 PAD平面
ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 AB平面 PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为 PD
平面 PAD,所以 AB PD
试题解析:(1)证明:ABCD 为矩形,故 AB AD,
又平面 PAD平面 ABCD
平面 PAD平面 ABCD=AD
所以 AB平面 PAD,因为 PD平面 PAD,故 AB PD
(2)解:过 P作 AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 G,连接 PG.
故 PO平面 ABCD,BC平面 POG,BC PG
在直角三角形 BPC 中,
2 3 2 6 6, , ,
3 3 3
PG GC BG
设 ,AB m ,则
2 2 24 ,
3
DP PG OG m ,故四棱锥 P-ABCD 的体积为
2 21 46 8 6 .
3 3 3
mV m m m
因为
2 2 22 88 6 6( )
3 3
m m m
故当
6
3
m 时,即
6
3
AB 时,四棱锥的体积 P-ABCD 最大.
建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ,
6 6 6 2 6 2 6 6(0,0,0), ( , ,0), ( , ,0), (0, ,0), (0,0, )
3 3 3 3 3 3
O B C D P
故
6 2 6 6 6( , , ), (0, 6,0), ( ,0,0)
3 3 3 3
PC BC CD
设平面 BPC 的法向量 1 ( , ,1),x yn ,则由 1 PCn
, 1 BCn
得
6 2 6 6 0
3 3 3
6 0
x y
y
解得 1, 0,x y 1 (1,0,1),n
同理可求出平面 DPC 的法向量 2
1(0, ,1),
2
n ,从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值为
1 2
1 2
1 10cos .
| | | | 512 1
4
n n
n n
【方法技巧归纳】1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路
(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.
(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.
2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解
决一些距离、夹角问题.
【变式 1】【改编例题的条件】【2018 届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图(1)
所 示 , 已 知 四 边 形 SBCD 是 由 Rt SAB 和 直 角 梯 形 ABCD 拼 接 而 成 的 , 其 中
90SAB SDC .且点 A为线段 SD的中点, 2 1AD DC , 2AB .现将 SAB
沿 AB进行翻折,使得二面角 S AB C 的大小为 90°,得到图形如图(2)所示,连接 SC,
点 ,E F分别在线段 ,SB SC上.
(Ⅰ)证明: BD AF ;
(Ⅱ)若三棱锥B AEC 的体积为四棱锥 S ABCD 体积的
2
5
,求点 E到平面 ABCD的距
离.
【解析】试题分析:(1)推导出 SA⊥AD,SA⊥AB,从而 SA⊥平面 ABCD,进而 SA⊥BD,再求
出 AC⊥BD,由此得到 BD⊥平面 SAC,从而能证明 BD⊥AF.(2)设点 E 到平面 ABCD 的距离为 h,
由 VB﹣AEC=VE﹣ABC,且
2
5
E ABC
S ABCD
V
V
,能求出点 E 到平面 ABCD 的距离.
(2)设点 E到平面 ABCD的距离为 h,因为 B ABC E ABCV V ,且
2
5
E ABC
S ABCD
V
V
,
故
5 11 2 1 53 2
1 1 22 1
3 2
ABCD
S ABCD
E ABC
ABC
S SAV
V S h h
梯形
,
故
1
2
h ,做点 E到平面 ABCD的距离为
1
2
.
【变式 2】【改编例题的条件,依据函数零点个数证明不等式】【2018 届安徽省合肥市高三调
研 性 检 测 】 如 图 , 多 面 体 ABCDEF 中 , / / ,AD BC AB AD , FA 平 面
, / /ABCD FA DE,且 2 2 2AB AD AF BC DE .
(Ⅰ)M 为线段 EF 中点,求证: / /CM 平面 ABF ;
(Ⅱ)求多面体 ABCDEF的体积.
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过证明面面平行得到线面平行;(Ⅱ)将多面体 ABCDEF分割成
三棱锥F ABC 和四棱锥C ADEF ,再分别算出它们的体积。它们之和即为所求。
试题解析:(Ⅰ)证明:取 AD中点 N ,由平面 / /CMN 平面 ABF ∴ / /CM 平面 ABF
(Ⅱ) 1 1 1 1 82 1 2 1 2 2 2
3 2 3 2 3F ABC C ADEFV V V
【数学思想】
分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体
现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方
面起着重要作用,因此,有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓
分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要
根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和
解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思
想”.
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的;
⑵问题中的条件是分类给出的;
⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;
⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
【处理立体几何问题注意点】
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要
证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明
直线 a∥b,只需证明向量 a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来
证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
【典例试题演练】
1.【2018 届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥 S ABC 中,若三条侧棱两两垂直,
且 3SA ,则正三棱锥 S ABC 的高为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
【答案】C
【解析】
因为正三棱锥 S ABC 的侧棱长 SA=3,设点 D 为顶点 S 在底面上的投影,所以
2CD 6,SD =3,解得SD 3 ,所以正三棱锥 S ABC 的高为 3 ,选 C.
2.【2017 年浙江省源清中学 9月高三上学期第一次月考】如图,矩形 ADFE,矩形CDFG,
正方形 ABCD两两垂直,且 2AB ,若线段DE上存在点P使得GP BP ,则边CG长度
的最小值为( )
A. 4 B. 4 3 C. D. 2 3
【答案】D
【解析】
以 DA,DC,DF 为坐标轴建立空间坐标系,如图所示:
设 0CG a P x z ,( ,, ),则
2
x z
a
,即
2
axz .
又 2 2 0 0 2B G a( ,,),( ,, ),
所以 2, 2, , , 2, .
2 2
ax axBP x GP x a
2 4 0
2 2
ax axPB PG x x a
.
显然 0x 且 2x .
所以 2
2
16 4
2
a
x x
.
因为 0,2x ,所以 22 0,1x x .
所以当 22 1x x , 2a 取得最小值 12.
所以 a的最小值为 2 3 .
故选 D.
3.【2017 届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为 2 的正方体
1 1 1 1ABCD ABC D 中任取一点M ,则满足 90AMB 的概率为( )
A.
24
B.
12
C.
8
D.
6
【答案】A
【解析】以 AB为直径作球,球在正方体内部的区域体积为
1 4 ππ
4 3 3
V ,正方体的体积
为8,所以由几何概型得,
π
24
P ,故选 A.
4.【2017 届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图,动点P在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的对
角线 1BD 上.过点 P 作垂直于平面 1 1BB D D 的直线,与正方体表面相交于 ,M N .设
,BP x MN y ,则函数 y f x 的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.【2017 届浙江省杭州市高三 4 月教学质量检测】在等腰直角 ABC 中, AB AC ,
2BC , M 为 BC中点, N 为 AC中点, D为BC边上一个动点, ABD 沿 AD翻折
使 BD DC ,点 A在面 BCD上的投影为点O,当点D在 BC上运动时,以下说法错误的
是( )
A. 线段 NO为定长 B. 1, 2CO
C. 180AMO ADB D. 点O的轨迹是圆弧
【答案】C
【解析】由于 AO 平面 IDC,所以 AO OM ,所以
1
2
OH OM ,同理
1
2
ON OC ,
由图可知O点轨迹为椭圆, CO 长度最小值为 1CM ,最大值为 2CA ,所以 C 选项
错误.
6.【2017 届河北省唐山市高三年级第二次模拟】正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 棱长为 6, O点
在棱 BC上,且 2BO OC ,过O点的直线 l与直线 1AA , 1 1C D 分别交于M , N 两点,
则MN ( )
A. 3 13 B. 9 5 C. 14 D. 21
【答案】D
【解析】
根 据 题 意 作 图 , 由 图 可 知 : 1 1
1 1 1
1
3
C F NC
AD ND
, 1 3NC , ∴ 13FN ,
2 2
1 1 1 1 1 2 13AF AB B F ,
2 2 7EN EF FN 故
1
1
3
EF EN
MA MN
,∴ 21MN ,故选 D.
7.【2018 届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在Rt ABC 中, AC BC , 3BC ,
5AB ,点D E、 分别在 AC AB、 边上,且 / /DE BC,沿着DE将 ADE 折起至 'A DE
的位置,使得平面 'A DE 平面 BCDE,其中点 'A 为点 A翻折后对应的点,则当四棱锥
'A BCDE 的体积取得最大值时, AD的长为__________.
【答案】
4 3
3
【解析】由勾股定理易得: 4AC ,设 AD x ,则 4CD x ,
而△AED∽△ABC,故
3
4
DE x ,四棱锥 'A BCDE 的体积:
31 1 3 13 4 16 0 4
3 2 4 8
V x x x x x x x
,
求导可得: 21' 16 3 0 4
8
V x x x ,
当
4 30
3
x 时, ' 0,V x V x 单调递增;
当
4 3 4
3
x 时, ' 0,V x V x 单调递减;
故当
4 3
3
x 时, V x 取得最大值.
8.【2017 届福建省泉州市高三 3 月质量检测】如图,一张 4A 纸的长、宽分别为
2 2 ,2a a. , , ,A B C D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线掀折起,使得 1 2 3 4, , ,P P P P
四点重合为一点 P ,从而得到一个多面体.关于该多面体的下列命题,正确的是
__________.(写出所有正确命题的序号)
①该多面体是三棱锥;
②平面 BAD 平面 BCD;
③平面 BAC 平面 ACD;
④该多面体外接球的表面积为 25 a
【答案】①②③④
9.【2017 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第九次模拟】如图,在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D
中,棱长为 1 ,点 P为线段 1AC上的动点(包含线段端点),则下列结论正确的______.
①当 1 13AC AP
时, 1 / /D P 平面 1BDC ;
②当 1 13AC AP
时, 1AC 平面 1D AP;
③ 1APD 的最大值为90;
④ 1AP PD 的最小值为
2 6
3
.
【答案】①②④
【解析】
对于①,连结 AB1,B1D1,AD1,则 V A−A1B1D1=
1
3
×
1
2
×1=
1
6
,
S △AB1D1=
1
2
× 2× 2×sin60∘ =
3
2
,A1C= 3,
设 A1到平面 AB1D1的距离为 h,则
1
3
×
3
2
×h=
1
6
,解得 h=
3
3
,
∴h=
1
3
A1C.
∴当 1 13AC AP
时,P 为 A1C 与平面 AB1D1的交点。
∵平面 AB1D1∥平面 BDC1,
∵D1P⊂平面 AB1D1,∴D1P∥平面 BDC1,故①正确;
对于②,由①可知 P∈平面 AB1D1,
∵A1C⊥平面 AB1D1,∴A1C⊥平面 D1AP,故②正确;
对于③,由①可知当 1 13AC AP
时,P 为等边△AB1D1的中心,
∴∠APD1=120
∘ ,故③错误;
对于④,连结 AC,D1C,则 Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P,
∴AP 的最小值为
1
1
AA AC
A C
=
6
3
,
∴AP+PD1的最小值为
2 6
3
.故④正确。
故答案为:①②④。
10.【2017 届昭通市高三复习备考统一检测】在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中,
BD AC O , M 是线段 1DO上的动点,过M 做平面 1ACD 的垂线交平面 1 1 1 1A BC D 于点
N ,则点 N 到点 A的距离最小值是___________.
【答案】
6
2
【解析】连结 1 1B D ,易知面 1ACD 面 1 1BDD B ,而 1MN ACD ,即 1NM DO , NM
在面 1 1BDD B 内,且点 N 的轨迹是线段 1 1B D ,连结 1AB ,易知 1 1AB D 是等边三角形,则当 N
为 1 1B D 中点时, NA距离最小,易知最小值为
6
2
11.【2017 届江西师范大学附属中学高三 3 月月考】如右图所示,在棱长为 2 的正方体
1 1 1 1ABCD ABC D 中, E为棱 1CC 的中点,点 ,P Q分别为面 1 1 1 1A BC D 和线段 1BC上的动点,
则 PEQ 周长的最小值为_______.
【答案】 10
【解析】将面 1 1 1 1A BC D 与面 1 1BBC C折成一个平面,设 E 关于 1 1BC 的对称点为 M,E关于 1BC
对称点为 N,则 PEQ 周长的最小值为
23 1 10MN .
12.【2018届江西省临川第二中学高三上学期第四次月考】如图,已知四棱锥 ,底面
为菱形, , , 平面 , 分别是 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若 为 的中点时, ,求点 到平面 的距离.
【解析】试题分析:(1)要证明 平面 ,根据线面垂直的判定定理,只需证 与平面
内两条相交直线垂直即可,通过观察题目,易知 , ,得证;(2)利用等
体积法, ,求得点 到平面 的距离.
(1)证明:由四边形 为菱形, ,
可得 , 为正三角形.
因为 M 为 的中点,所以 .
又 ,因此 .
因为 平面 , 平面 ,
所以 . 而 ,
所以 平面 .
(2) .
则由 ,
13.【2018 届重庆市巴蜀中学高三 9 月高考适应月考】如图,梯形 中, ,矩形
所在的平面与平面 垂直,且 .
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)若 为线段 上一点,直线 与平面 所成的角为 ,求 的最大值.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得 平面 ,结合面面垂直的判断定理可得平面 平
面 .
(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系,结合直线的方向向量和平面的法向量可得 .
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,取 的中点 ,连接 ,
则 ,所以 ,从而四边形 为平行四边形,
所以 ,从而 .
又因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 .又 平面 ,
所以平面 平面 .
令 ,得平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
当 时, ,从而 .
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