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- 2021-06-24 发布
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高二数学同步辅导教材（第 20 讲）
第八章 圆锥曲线方程专题讲座
一、 二次曲线系
（一）共焦点圆锥曲线系
1t
y
tc
x 2
2
2
当 t>0 时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；
当-c20，但要改变共焦点的二次曲线系方
程中相应的符号。
与椭圆 1b
y
a
x
2
2
2
2
共焦点的二次曲线系方程也可以设为
1
kb
y
ka
x
2
2
2
2
（0k≠b2，k 为参数）。
（二）具有相同离心率的圆锥曲线系
[例 3]已知椭圆的离心率是
2
1 ，焦点在 x轴上，且被直线 2x2
1y 截得的弦长为 53 ，
求椭圆的标准方程。
解：
4
3
2
11e1a
b 2
2
，又其焦点在 x 轴上，
设椭圆方程为 .03
y
4
x 22
即 .012y4x3 22
将 2x2
1y 代入，整理得
.034x2x2
由韦达定理可知：x1+x2=-2,x1x2=4-3
由弦长公式，有
21
2
21
2
21
2 xx4xxk1xxk153
= 34422
11 2
2
= 335
解得 4 。
故所求椭圆方程为 43
y
4
x 22
，即 .112
y
16
x 22
说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意其焦点所在的坐标轴及圆
锥曲线的类型。
（三）共渐近线的双曲线系
0b
y
a
x
2
2
2
2
显然，它们的公共渐近线为 .0b
y
a
x
2
2
2
2
[例 4]求与双曲线 14
y
16
x 22
共渐近线且与直线 x-y-1=0 相切的双曲线方程。
解：设此双曲线方程为 ,164
y
16
x 22
由方程组
01yx
y4x 22
消去 x 得 3y2-2y+（ -1）=0。
由双曲线与直线相切知
.3
4,0)1(344 得
将
3
4 代入方程组得
所求的双曲线方程为 3x2-12y2=4。
二、 求轨迹的几种方法
求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、
交轨法、转化法、待定系数法。下面我们逐一介绍。
（一）定义法
利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫
做定义法。
[例 1]过原点 O 的一条直线交圆 x2+(y-1)2=1 于点 Q，在直线 OQ 上取一点 P，使点 P
到直线 y=2 的距离等于|PQ|，当直线 PQ 绕点 O 旋转时，求动点 P 的轨迹方程。
解：如图所示，设动点 P 的坐标为(x,y)，作 PD 垂直于直线 y=2，
垂足为 D。
（1）当点 P 不在 y 轴上时，
PQPD
PDARt ≌ PQARt
从而∠1=∠2。
又 PD∥OA，∴∠1=∠3。从而∠2=∠3。
∴|OP|=|OA|=2。
这时，点 P 的轨迹方程为
x2+y2=4(x≠0)。
（2）当点 P 在 y 轴上时，
∵点 Q 与 D 重合于点 A，∴y 轴上任一点 P 都满足|PD|=|PQ|。这时，点 P 的轨迹方
程为 x=0。
于是由（1），（2）可知，动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4(x≠0)或 x=0。
（二）参数法
[例 2] 已知∠MON=120°，长为 32 的线段 AB 的两段 A，B 分别在 OM，ON 上滑动，
求 AB 中点 P 的轨迹方程。
分析 中点 P 依赖于 A，B 两点，设 A，B 的横坐标为参数，利用|AB|= 消去参数，
便可得到 P 的轨迹方程。
解：如图所示，以 O 为原点，∠MON 的平分线为 x 轴的正方向，则射线 ON，OM 的
方程分别为 )0x(x3y)0x(x3y 和 。
设 0x,0xx3,xA),x3,x(B,y,xP 212211 ，则
21
21
xx2
3y
2
xxx
,32AB
,32xx3xx 2
21
2
1
即(x1-x2)2+3(x1+x2)2=12
把式①②代入式③中，得
,12x23y
3
2 2
2
即 .19
yx
2
2
解方程组
19
yx
x3y
2
2
故动点 P 的轨迹方程为
)2
3x(19
yx
2
2 。
①
②
2
3x0x 得注意
（三）交轨法
当动点 P 是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点 P 的轨迹方程，可选择适当的
参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点 P 的轨
迹方程。
[例 3]如图 8—24 所示，在直角坐标系 xOy 中，已知矩形 OABC 的边长|OA|=a,|OC|=b，
点 D 在 AO 的延长线上，且|DO|=a，设 M，N 分别是 OC，BC 边上的动点，且 0NC
BN
MC
OM ，
求直线 DM 与 AN 的交点 P 的轨迹方程。
解 如图所示，点 A，D 的坐标分别为(a,0),(-a,0)。
设 )at0(tBN ，则点 N 的坐标为(a-t,b)。
NC
BN
MC
OM ，
.BC
BN
OC
OM
从而 .a
btOCBC
BNOM
a
bt,0M的坐标为点 。
直线 DM 的方程为 1bt
ay
a
x
直线 AN 的方程为
t
ax
b
y
设动点 P 的 坐 标 为 (x,y) ， 则 从 式 ① ② 中 消 去 参 数 t ，得 P 的 轨 迹 方 程 为
).0y,0x(1b
y
a
x
2
2
2
2
（四）代入法
对于已知曲线 C:F(x,y)=0 上的各点 M，按照某种法则，同一平面上的点 P 与它对应，
当点 M 在曲线 C 上移动时，点 P 的轨迹是曲线 *C ，则称 为 C 的伴随曲线。求伴随曲线
的方程一般用代入法。其步骤如下：设点 P，M 的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则 F(x1,y1)=0。
由点 M 与点 P 的关系，求得 x1=f(x,y),y1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点 P 的轨迹方程为
F(f(x,y,),g(x,y))=0。
[例 4] 从原点 O 作圆(x-2)2+y2=4 的动弦 OP，把 OP 延长到 M，使 PM2
1OP ，求
动点 M 的轨迹方程。
解 如图所示，设点 M，P 的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则
4y2x 2
1
2
1
①
②
.2
1
PM
OP
,PM2
1OP
从而 .
2
11
y2
1
y,
2
11
x2
1
x 11
即
3
yy
3
xx
1
1
把式②③代入式①中，得
,43
y23
x 22
于是，动点 M 的轨迹方程为
.36y6x 22
（五）待定系数法
当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。
[例 5] 求以直线 0y5x4 和 040y5x4 为渐近线，焦点在直线 04y 上且
焦距是 414 的双曲线方程。
解 如图所示，解方程组
040y5x4
0y5x4
得
4y
5x
即两直线的交点坐标为（5，-4）。
又双曲线的中心为 O’（5，-4）。
由已知条件可设这双曲线的方程为
)0b,ba(1b
4y
a
5x
2
2
2
2
为 0b
4y
a
5x
即： 0)4y(a)5x(b
结合已知渐近线方程
5
4
a
b
从而可设 ).0k(k4b,k5a
412c,414c2 。
.2k,414k41bac 2222
于是 a=10，b=8。故所求的双曲线方程为
.164
4y
100
5x 22
三、求最值方法总结
解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。现把
这类问题的解法总结如下：
（一）利用综合几何法求最值
利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。这种解法如果运用
得当，往往显得非常简捷、明快。
[例 1]如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是 y 轴正方向上给定的两点，试在 x
轴正方向上求一点 C，使∠ACB 取得最大值。
解：如图所示，过 A，B 两点作圆与 x 轴正方向相切于点 C。设 C’是 x 轴正方向上异于
点 C 的任一点，连结 BC，AC，BC’，AC’，则由平面几何知识，易得∠ACB＞∠AC’B，从
而点 C 即为所求。
设 aOA,bOB ，则由切割线定理，得
abOAOBOC 2 ，
abOC 。
即所求的点 C 的坐标为 0,ab 。
（二）利用二次函数的性质求最值
[例 2]过点 B（0，-b）作椭圆 )0ba(1b
y
a
x
2
2
2
2
的
弦，求这些弦长的最大值。
解：如图所示，设点 M(x,y) 是 椭 圆 上 任 一 点 ， 则
1b
y
a
x
2
2
2
2
，
即
).
b
y1(ax 2
2
22
从而
22 byxBM
).byb(
c
a
c
by
b
c
bby2yb
yaa
222
2
3
2
2
22
2
22
2
于是，（1）若 2
3
2
3
c
by,b2a,bc
b 则当即 时，|BM|取得最大值
c
a 2
；（ 2）若 bc
b
2
3
，
即 b2a ，则当 y=b 时，|BM|取得最大值
b2c
a
c
bbb
c 222
2
3
2
2
。
（三）利用判别式法求最值
[例 3] 过点 A（1，4）作一直线在两坐标轴上的截距都为正，且其和为最小，求这直线
的方程。
解 设所求的直线为 )0b,0a(1b
y
a
x ，则 1b
4
a
1 ，从而 4b,4b
ba 。
,b3bs4b
,4b
b3bb4b
bbas
2
2
即 0s4b)s3(b2 。
∵b 是实数，∴ ,0s16s3 2
即 01s9s 。
∵由 b＞4，可知 s＞1,∴s≥9。
当 s=9 时，易得 b=6,a=3。即当 a=3,b=6 时，s 有最小值 9。
故所求的直线方程为 16
y
3
x ，即
2x+y-6=0。
（四）利用不等式法求最值
例 3 中， 5)4b(4b
4b4b
bbas
04b,4b .44b4b
42)4b(4b
4
s.954s 取最小时， 4b
4b
4
，解得 6b 。（以下略）
（五）利用三角求最值
例 2 中，设椭圆上任一点 a,asinb,acosaM 为参数。
则|BM| 22 basinb0acosa
22
42
22
2
22
222222
ba
a
ab
basinab
baasinb2asinab
0ab,0ba 22
当 0
ab
b1 22
2
即 b2a 时
取 22
2
ab
basin
得
c
a
ba
aBM
2
22
4
最大
当 1ab
b
22
2
即 b2ab 时
取 1asin 得 b2BM 最大
例 3 中，设直线倾斜角的补角为 （如图），横纵截距分别为 a、b 由锐角三角函数，则
tancot45batan14b
cot41a
9tancot425
2tan,4tan 2 （正值已舍去）
故所求直线方程为： )1x(24y
解题方法总结：
（1）恰当选择坐标系，以简化计算。
（2）重视圆锥曲线的定义，曲线的几何性质在解题中的作用。定义是运用数形结合思
想方法解题的重要依据，定义解题可简化运算，提高速度。
（3）三种圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线都是“一个动点到一个定点和一条定直
线的距离之比为一个常数”的动点轨迹这一本质属性，因此，在三种圆锥曲线的计算和证明
中，当题中涉及到离心率、定点、定直线时，要不失时机地运用统一定义解题。
（4）要判断动点的轨迹，往往需要先求出它的轨迹方程，然后根据方程的结构特点，
再确定是何种曲线。求轨迹方程的主要方法见前一章总结。在求轨迹方程时要注意根据数形
结合，检验轨迹的完备性和纯粹性。
（5）涉及到直线与圆锥曲线的问题，要注意方程思想和转化思想的应用。
（6）求圆锥曲线中的最值问题，一方面注意定义和有关性质的运用，另一方面可考虑
转化为一定的函数关系。然后运用函数求最值的各种方法求解，这里在特别注意代数、三角、
平面几何知识的综合灵活应用。
（7）求解有些圆锥曲线综合问题，常常要引入适当的辅助参数。因此，适当地选择参
数，设而不求，可化难为易，减小计算量。
高考试题选析
（2000 年全国）如图，已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 分有向
线段 AC 所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。
当
4
3
3
2 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。
解法 1 如图所示，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐标系 xOy，
则 CD⊥y 轴。因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性性 C、D 关
于 y 轴对称。
依题意，记 ,y,xE,h,2
cC),0,c(A 00
其中 AB2
1c 为双曲线的半焦距，h 是梯形
的高。
由定比分点坐标公式得
1
hy,12
c2
1
2
cc
x 00 。
设双曲线的方程为 1b
y
a
x
2
2
2
2
，则离心率
a
ce 。
由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和
a
ce 代入双曲线方程得
1
b
h
4
e
2
22
， ①
.1b
h
11
2
4
e
2
2222
②
由①式得 14
e
b
h 2
2
2
③
将③式代入②式，整理得 21)44(4
e2
，
故
2e
31 2 。由题设
4
3
3
2 得，
4
3
2e
313
2
2 。解得 10e7 。
所以双曲线的离心率的取值范围为 ]10,7[ 。
解法 2：如图，过 C、E 分别作 AB 的垂线，垂足为 F 和 G，设 CD=c，则 AB=2c，
.2
c3AF,2
cFB
∵点 C 在双曲线上，∴CA-CB=2a，
即 .a2CFc4
1CFc4
9 2222
解得 22 a4ca2
bCF 。
其中，a,b 为双曲线的实、虚半轴的长。
在 Rt△AFC 中，由勾股定理，得
AGE.ace2
1AC ∽ AFC
1AF
AG
CF
EG
AC
AE ，
ace2
1
1AE
，
c2
3
1AG,a4ca2
b
1EG 22
。
在 Rt△EGB 中，由勾股定理，得
2
22
2
22
c2
3
1c2a4ca4
b
1EB
又 a2EAEB ，
2
22
2
22
c2
3
1c2a4ca4
b
1
.a2ace2
1
1
两边同除以 a，并注意到 b2=c2-a2，
解得
1
21e2 。
以下同解法 1。
说明 本题主要考查圆锥曲线的几何性质。解法 2 抓住了问题的特征，没有建立坐标
系，而应用了双曲线的几何意义。
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