高考数学专题复习练习：13-3 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 ∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n>2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n>2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n>2n＋1成立．‎ ‎∴n的第一个取值应是3.‎ ‎【答案】 C ‎2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ ‎【解析】 左边＝1＋＋＋…＋ ‎＝＝2－，‎ 代入验证可知n的最小值是8.‎ ‎【答案】 B ‎3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．3n－2 B．n2‎ C．3n－1 D．4n－3‎ ‎【解析】 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，可猜an＝n2，故应选B.‎ ‎【答案】 B ‎4．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 ‎【解析】 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．‎ ‎【答案】 D ‎5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. ‎【解析】 当n＝k(k∈N*)时，‎ 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；‎ 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，‎ 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．‎ ‎【答案】 B ‎6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________．‎ ‎【解析】 由(S1－1)2＝S1·S1，得S1＝，‎ 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝，‎ 依次得S3＝，S4＝，猜想Sn＝.‎ ‎【答案】 ‎7．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．‎ ‎【解析】 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋＜k；‎ 当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜k＋1.‎ 左边增加了2k项．‎ ‎【答案】 2k ‎8．(2017·九江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f ‎(32)＞，则其一般结论为________________．‎ ‎【解析】 因为f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，所以当n≥2时，有f(2n)＞.故填f(2n)＞(n≥2，n∈N*)．‎ ‎【答案】 f(2n)＞(n≥2，n∈N*)‎ ‎9．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ ‎【解析】 (1)由题意得a1＝1，b1＝－1，‎ b2＝＝，a2＝1×＝，‎ ‎∴P2.‎ ‎∴直线l的方程为＝，‎ 即2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明 ①当n＝1时，‎ ‎2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．‎ 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．‎ 由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn都在直线l上．‎ ‎10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．‎ ‎【解析】 (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，‎ a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，‎ a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.‎ ‎(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an＝(n－1)λn＋2n.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1，2，3，4时，等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，‎ 即ak＝(k－1)λk＋2k，那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ‎＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ‎＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，‎ 所以当n＝k＋1时，猜想成立，‎ 由①②知数列的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0)．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 ‎【解析】 ∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，‎ ‎∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．‎ ‎【答案】 D ‎12．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________．(n≥1，n∈N*)‎ ‎【解析】 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.‎ ‎【答案】 4　n2－n＋2‎ ‎13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．‎ ‎【解析】 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，‎ f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)‎ ‎＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．‎ ‎【答案】 5　(n＋1)(n－2)(n≥3)‎ ‎14．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ ‎【解析】 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1，2，3时，不等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，‎ 即1＋＋＋＋…＋＜－.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．‎ ‎15．(2017·广州模拟)已知数列{an}满足a1＝a2＝a3＝k，an＋1＝(n≥3，n∈N*)，其中k＞0，数列{bn}满足bn＝(n＝1，2，3，4，…)‎ ‎(1)求b1，b2，b3，b4；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(3)是否存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.‎ ‎【解析】 (1)经过计算可知：‎ a4＝k＋1，a5＝k＋2，a6＝k＋4＋.‎ 求得b1＝b3＝2，b2＝b4＝.‎ ‎(2)由条件可知：‎ an＋1an－2＝k＋anan－1.①‎ 类似地有：an＋2an－1＝k＋an＋1an.②‎ ‎①－②有：＝，‎ 即bn＝bn－2.‎ 所以b2n－1＝b2n－3＝…＝b1＝＝2，‎ b2n＝b2n－2＝…＝b2＝＝，‎ 所以bn＝＋(n∈N*，k＞0)．‎ ‎(3)假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数，则由(2)可知：‎ ③‎ 由a1＝k∈Z，a6＝k＋4＋∈Z可知k＝1，2.‎ 当k＝1时，＝3为整数，利用a1，a2，a3∈Z，‎ 结合③式，反复递推，可知{an}的每一项均为整数，当k＝2时，③变为④‎ 我们用数学归纳法证明a2n－1为偶数，a2n为整数，‎ n＝1时，结论显然成立，假设n＝k时结论成立，这时a2k－1为偶数，a2k为整数，故a2k＋1＝2a2k－a2k－1为偶数，a2k－2为整数，所以n＝k＋1时，命题成立，‎ 故数列{an}是整数列，‎ 综上所述，k的取值集合是{1，2}．‎