2019年高考数学总复习检测第20讲　导数的实际应用及综合应用 3页

第20讲　导数的实际应用及综合应用 ‎1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎ (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10(5－6)2＝11，解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2(3＜x＜6)，‎ 所以该商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝[＋10(x－6)2](x－3)‎ ‎＝2＋10(x－3)(x－6)2(3＜x＜6)，‎ 所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]‎ ‎＝30(x－4)(x－6)．‎ 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表 x ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,6)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递增 极大值42‎ 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，‎ 所以当x＝4时，f(x)max＝42.‎ 答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F是AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．‎ ‎(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？‎ ‎(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎ (1)根据题意，有 S＝4·x·(60－2x)＝240x－8x2‎ ‎＝－8(x－15)2＋1800(00，V单调递增；‎ 当200，则由f′(x)＝0得x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．‎ 当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(－∞，ln(－))上单调递减，在(ln(－)，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.‎ ‎②若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，‎ 从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.‎ ‎③若a<0，则由(1)得，‎ 当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，‎ 最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]，‎ 从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，‎ 即a≥－2e时，f(x)≥0.‎ 综上，a的取值范围是[－2e，1]．‎ ‎4．(2016·四川卷)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)证明：当x>1时，g(x)>0；‎ ‎(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．‎ ‎ (1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．‎ 当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．‎ 当a＞0时，由f′(x)＝0有x＝，‎ 当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．‎ ‎(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.‎ 当x＞1时，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，‎ 从而g(x)＝－＞0.‎ ‎(3)由(2)知，当x＞1时，g(x)＞0.‎ 当a≤0，x＞1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x＜0.‎ 故当f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a＞0.‎ 当0＜a＜时，＞1.‎ 由(1)有f()＜f(1)＝0，而g()＞0，‎ 所以此时f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．‎ 当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．‎ 当x＞1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x＞x－＋－＝＞＞0.‎ 因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．‎ 又因为h(1)＝0，所以当x＞1时，h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)恒成立．‎ 综上，a∈[，＋∞)．‎