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- 2021-06-24 发布
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单元滚动检测十 计数原理
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分160分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.(2016·南通模拟)(x-)5的展开式中,x项的系数为________.
2.(2016·石家庄质检二)一排有6个座位,三个同学随机就坐,任何两人不相邻的坐法种数为________.
3.(2016·苏州模拟)安排6名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数是________.
4.在(x2-)9的二项展开式中,常数项是________.
5.(2016·云南第二次统测)已知(2x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则a0+a2=________.
6.(2016·南京模拟)若C=C(n∈N*)且(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a0-a1+a2-…+(-1)nan=________.
7.(2016·广东深圳第二次调研)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是________.
8.(2016·湖南师大附中月考三)现有2个男生,3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两个相邻,则不同的站法种数是________.
9.(2016·运城质检)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数,则这样的偶数的个数是________.
10.(2016·连云港一模)设(5x-)n的展开式的各项系数和为M,二项式系数和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为________.
11.用字母A,Y,数字1,8,9构成一个字符不重复的五位号牌,要求字母A,Y不相邻,数字8,9相邻,则可构成的号牌的个数是________.(用数字作答)
12.(2016·淮安一模)设复数x=(i是虚数单位),则C+Cx+Cx2+…+Cx1 000=______.
13.现有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,有________种不同的排列方法.
14.(2016·潍坊模考)(1+x+x2)(x-)6的展开式中的常数项为________.
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2016·南京模拟)航天员拟在太空授课,准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数是多少?
16.(14分)(2017·山西太原五中二模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有多少种?
17.(14分)若(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,求该展开式中常数项的值.
18.(16分)(2016·苏州模拟)求S=C+C+…+C除以9的余数.
19.(16分)(2016·临沂3月检测)有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.
20.(16分)(2016·镇江模拟)已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
答案解析
1.40
解析 (x-)5的展开式的通项是Tr+1=C·(-2)r·x5-2r.
令5-2r=1得r=2.因此x项的系数是C·(-2)2=40.
2.24
解析 利用“插空法”求解.不坐人的3个座位产生4个空位,从中选3个空位安排3个同学,所以有A=24(种)不同坐法.
3.480
解析 不同的排法种数为2(A+AA+AA+AA)=480.
4.84
解析 依题意,二项式(x2-)9的展开式的通项是
Tr+1=C·(x2)9-r·(-)r=C·(-1)r·x18-3r.
令18-3r=0,得r=6,因此(x2-)9的展开式中的常数项是
C·(-1)6=84.
5.-13
解析 利用二项式展开式的通项公式求解,由题意可得
a0=(-1)3=-1,a2=C×22×(-1)=-12,所以a0+a2=-13.
6.256
解析 ∵3n+1+n+6=23,∴n=4,
令x=-1,则a0-a1+a2-…+(-1)nan=(3+1)4=256.
7.20
解析 (1+x)n二项展开式的通项为Tr+1=Cxr,要使其出现x2项 ,则r=2且n≥2,n∈N*,故含x2项的系数为C+C+C+C=1+3+6+10=20.
8.24
解析 先排男生有A种排法,再让老师站在两男生的中间,最后让三名女生插两空有
CAA种排法,所以共有ACAA=24(种)排法.
9.108
解析 第一步,先排不受限制的数字2、4、6,有A种排法;第二步,把不相邻的数字1和5插入已经排好的2、4、6内且最后的数字是偶数,有A种插法;第三步,把剩余的3插入已经排好的1、2、4、5、6内且其不与5相邻并保证最后的数字为偶数,有3种插法.根据分步计数原理可得满足条件的偶数的个数是A×A×3=108.
10.150
解析 据题意M-N=4n-2n=240,解得n=4,故通项公式为Tr+1=C54-r(-1),令4-r=1,得r=2,故展开式中x的系数为C52=150.
11.24
解析 将8与9捆绑在一起有A种方法,将捆绑好的8,9与1排列有AA种排法,再将字母A,Y,插入其3个空中可得共有AAA=24(种)不同的排法,即可构成的号牌个数是24.
12.2500
解析 因为有C+Cx+Cx2+…+Cx1 000=(1+x)1 000,而复数x==i,则所求的值即为(1+i)1 000=(2i)500=2500i500=2500.
13.1 260
解析 第一步,从9个位置中选出2个位置,分给相同的红球,有C种选法;第二步,从剩余的7个位置中选出3个位置,分给相同的黄球,有C种选法;第三步,剩下的4个位置全部分给4个白球,有1种选法.
根据分步计数原理可得,不同的排列方法共有CC=1 260(种).
14.-5
解析 (x-)6的展开式的通项为
Tr+1=(-1)r·Cx6-2r(r=0,1,…,6),令6-2r=0,
∴r=3,T4=(-1)3·C=-C;
令6-2r=-1,∴r=(舍);令6-2r=-2,
∴r=4,T5=Cx-2,∴(1+x+x2)(x-)6的展开式中的常数项为1×(-C)+C=-5.
15.解 由于0号实验不能放在第一项,所以第一项实验有5种选择,最后两项实验的顺序确定,所以共有=300(种)不同的编排方法.
16.解 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:
甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有CC=6(种);甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:①从4门中先任选 一门作为相同的课程,有C=4(种)选法;②甲从剩余的3门中任选1门,乙从最后剩余的2门中任选1门有CC=6(种)选法,由分步计数原理知此时共有CCC=24(种).综上,由分类计数原理知,甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30(种).
17.解 令x=1,则其展开式系数和为(1+a)×(2-1)5=2,即a=1,
从而(x+)(2x-)5=·=,其中(2x2-1)5的展开式的通项为
Tr+1=C(2x2)5-r·(-1)r=C25-r·(-1)rx10-2r.当10-2r=4,即r=3时,该项为-40x4;
当10-2r=6,即r=2时,该项为80x6,所以的展开式中常数项为40.
18.解 S=C+C+…+C=227-1=89-1
=(9-1)9-1=C×99-C×98+…+C×9-C-1
=9(C×98-C×97+…+C)-2.
∵C×98-C×97+…+C是正整数,∴S被9除的余数为7.
19.解 (1)方法一 (元素分析法):先排甲有6种,再排其余人有A种,故共有6·A=241 920(种)排法.
方法二 (位置分析法):中间和两端有A种排法,包括甲在内的其余6人有A种排法,故共有A·A=336×720=241 920(种)排法.
方法三 (等机会法):9个人全排列有A种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意得甲不在中间及两端的排法种数是A×=241 920.
方法四 (间接法):A-3·A=6A=241 920(种).
(2)先排甲、乙,再排其余7人.
共有A·A=10 080(种)排法.
(3)(插空法)先排4名男生有A种方法,再将5名女生插空,有A种方法,故共有A·A=2 880(种)排法.
20.解 (1)由已知得C+2C=11,∴m+2n=11,
x2的系数为C+22C=+2n(n-1)
=+(11-m)=2+.
∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.
(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.
设f(x)的展开式为
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
两式相减得2(a1+a3+a5)=60,
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
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