高考数学专题复习教案： 立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 3页

立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 主标题：立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离 副标题：为学生详细的分析立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：空间角，距离 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点剖析：‎ ‎1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．‎ ‎2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ 命题方向：对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．‎ 规律总结：‎ ‎1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．‎ ‎(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos|.‎ ‎(2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos|.‎ ‎(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝或π－.‎ ‎2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同．‎ ‎(2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.‎ ‎3.利用向量法求空间角要破“四关”‎ 利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“‎ 一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．‎ 知 识 梳 理 ‎1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 ‎[0，π]‎ 求法 cos θ＝ cos β＝ ‎2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝.‎ ‎3．求二面角的大小 ‎(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝<，>.‎ ‎ ‎ ‎(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．‎ ‎4．利用空间向量求距离(供选用)‎ ‎(1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.‎ ‎(2)点到平面的距离 ‎ ‎ 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.‎