高考文科数学复习备课课件：第二节　空间几何体的表面积和体积 30页

文数 课标版 第二节　空间几何体的表面积和体积 教材研读 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图       侧面 积公式 S 圆柱侧 =① 　2π rl      S 圆锥侧 =②     π rl      S 圆台侧 = ③     π( r + r ') l      　　　名称 几何体　　     表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积 = S 侧 +2 S 底 V =④      Sh      锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积 = S 侧 + S 底 V =⑤        Sh      台体 (棱台和圆台) S 表面积 = S 侧 + S 上 + S 下 V =   ( S 上 + S 下 +   ) h 球 S =⑥ 　4π R 2      V =⑦        π R 3      2.空间几何体的表面积与体积公式 (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.   (√) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.   ( × ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.   (√) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(√) (5)正方体既有外接球又有内切球.   (√) (6)圆柱的一个底面积为 S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧 面积是2π S .   ( × ) 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) 1.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面 积是   (　　) A.40π 2 　     B.64π 2 C.32π 2 或64π 2 　    D.32π 2 +8π或32π 2 +32π 答案     D　当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和 是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π. 无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π 2 .故所求的表面积是32π 2 +8π 或32π 2 +32π. 2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为   (　　) A.   π　　B.   π　     C.16π　　D.24π 答案     B　设球的半径为 R , 则由4π R 2 =16π, 解得 R =2, 所以这个球的体积为   π R 3 =   . 3.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体 积是 　　　     . 答案        解析 　在长方体(长为2   ,宽、高均为1)中作出此三棱锥,如图所示,   则 V P - ABC =   ×   × 2   × 1 × 1=   . 4.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2   ,其底面是边长为2的正六 边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 　　　     . 答案 　12 解析　 设六棱锥的高为 h ,斜高为 h 0 . 因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形, 所以底面面积为   × 2 × 2 × sin 60 °× 6=6   , 则   × 6   h =2   ,得 h =1, 所以 h 0 =   =2, 所以该六棱锥的侧面积为   × 2 × 2 × 6=12. 考点一　空间几何体的表面积 典例1 　(1)(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为   (　　)   A.18+36   　    B.54+18   C.90　 D.81 考点突破 (2)(2016安徽江南十校3月联考)某几何体的三视图如图所示,其中侧视 图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为   (　　)   A.4π+16+4   　    B.5π+16+4   C.4π+16+2   　    D.5π+16+2   答案 　(1)B　(2)D 解析 　(1)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧 棱长为3   的斜四棱柱. 其表面积 S =2 × 3 2 +2 × 3 × 3   +2 × 3 × 6=54+18   .故选B. (2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三 棱柱的两个侧面面积之和为2 × 4 × 2=16,两个底面面积之和为2 ×   × 2 ×   =2   ;半圆柱的侧面积为π × 4=4π,两个底面面积之和为2 ×   × π × 1 2 =π,所 以几何体的表面积为5π+16+2   ,故选D. 方法技巧 空间几何体表面积的求法 (1)表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱 剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求 旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展 开后求表面积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中 的边长关系. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作 差,求出不规则几何体的表面积. 1-1     (2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是   ,则它的 表面积是   (　　) A.17π　　B.18π　　C.20π　　D.28π 答案     A　由三视图可知该几何体是一个球被截去   后剩下的部分,设 球的半径为 R ,则   π=   ×   π R 3 ,解得 R =2.故其表面积为   × 4π × 2 2 +3 ×   × π × 2 2 =17π.选A. 1-2     (2016课标全国Ⅱ,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图,则该几何体的表面积为   (　　)   A.20π　　B.24π　　C.28π　　D.32π 答案     C　由三视图可得圆锥的母线长为   =4,∴ S 圆锥侧 =π × 2 × 4 =8π.又 S 圆柱侧 =2π × 2 × 4=16π, S 圆柱底 =4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π= 28π.故选C. 考点二　空间几何体的体积 典例2　 (1)(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视 图如图所示.则该几何体的体积为   (　　)   A.   +   π　　B.   +   π　　C.   +   π　　D.1+   π　 (2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 　　　     .   答案　(1)C　(2)   解析 　(1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱 锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的 直径2 R =   ,则 R =   ,所以半球的体积为   π R 3 =   π,又正四棱锥的体积 为   × 1 2 × 1=   ,所以该几何体的体积为   +   π.故选C. (2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还 原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱 ABCD - A ' B ' C ' D '.   故该四棱柱的体积 V = Sh =   × (1+2) × 1 × 1=   . 方法技巧 空间几何体体积的求法 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利 用公式进行求解.其中,等体积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割 或补形转化为规则几何体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直 观图,然后根据条件求解. 2-1 　如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为1的正方形,且 △ ADE ,△ BCF 均为正三角形, EF ∥ AB , EF =2,则该多面体的体积为   (    　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     A　解法一:如图所示,分别过 A , B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G , H ,连 接 DG , CH ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,   易知三棱锥的高为   ,直三棱柱的高为1, AG =   =   , 取 AD 的中点 M ,连接 MG ,则 MG =   , ∴ S △ AGD =   × 1 ×   =   , ∴ V =   × 1+2 ×   ×   ×   =   . 解法二:如图所示,取 EF 的中点 P ,则原几何体分割为两个三棱锥和一个 四棱锥,易知三棱锥 P - AED 和三棱锥 P - BCF 都是棱长为1的正四面体,四 棱锥 P - ABCD 是棱长为1的正四棱锥.   ∴ V =   × 1 2 ×   +2 ×   ×   ×   =   . 2-2 　某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为   (　　)   A.   +2π　　B.   　    C.   　    D.   答案     B　由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组合而成 的几何体,其体积为π × 1 2 × 2+   ×   π × 1 2 × 1=   . 考点三　与球有关的切、接问题 命题角度一　正方体的外接球 典例3     (2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面 上,则该球的表面积为   (　　) A.12π　　B.   π　　C.8π　　D.4π 答案     A 解析　 设正方体的棱长为 a , 则 a 3 =8,解得 a =2. 设球的半径为 R ,则2 R =   a , 即 R =   , 所以球的表面积 S =4π R 2 =12π.故选A. 典例4 　(1)(2016辽宁抚顺模拟)已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的6个顶点都 在球 O 的球面上,若 AB =3, AC =4, AB ⊥ AC , AA 1 =12,则球 O 的半径为   (    　) A.   　    B.2   　    C.   　    D.3   (2)在封闭的直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球.若 AB ⊥ BC , AB =6, BC =8, AA 1 =3,则 V 的最大值是   (　　) A.4π　　B.   　    C.6π　　D.   答案 　(1)C　(2)B 解析　 (1)如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线,垂足为 BC 的中点 M .连接 OA , AM , 命题角度二　直棱柱的外接与内切球   又 AM =   BC =   , OM =   AA 1 =6, 所以球 O 的半径 R = OA =   =   . (2)易知 AC =10.设底面△ ABC 的内切圆的半径为 r ,则   × 6 × 8=   × (6+8+1 0)· r ,所以 r =2,因为2 r =4>3,所以最大球的直径2 R =3,即 R =   .此时球的体积 V =   π R 3 =   .故选B. 典例5　 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边 长为2,则该球的表面积为   (　　) A.   　    B.16π　　C.9π　　D.   (2)若一个正四面体的表面积为 S 1 ,其内切球的表面积为 S 2 ,则   = 　　          . 答案 　(1)A　(2)   解析 　(1)如图所示,设球的半径为 R ,底面中心为 O ',球心为 O , 由题意得 AO '=   . 命题角度三　正棱锥的外接与内切球 ∵ PO '=4,∴ OO '=4- R , 在Rt△ AOO '中,∵ AO 2 = AO ' 2 + OO ' 2 , ∴ R 2 =(   ) 2 +(4- R ) 2 , 解得 R =   , ∴该球的表面积为4π R 2 =4π ×   =   . (2)设正四面体内切球的半径为 r ,正四面体的棱长为 a ,则正四面体的表 面积 S 1 =4 ×   · a 2 =   a 2 ,其内切球的半径为正四面体高的   ,即 r =   ×   a =   a ,因此内切球的表面积 S 2 =4π r 2 =   ,则   =   =   . 方法指导 “切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题时要找准切点. (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在同一球面上即为球的外接问题.解决这类 问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的 半径. 3-1　 如图所示,在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积 的最大值是 　　　     .   答案        π R 3 解析 　设圆柱的高为 h ,则圆柱的底面半径为   ,圆柱的体积 V =π( R 2 - h 2 ) h =-π h 3 +π R 2 h (0< h < R ), V ' =-3π h 2 +π R 2 ,令 V ' >0,得0< h <   R ,令 V ' <0,得   R < h < R ,故当 h =   R 时, V 取得最大值,最大值为   π R 3 . 3-2 　三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ AB , PA ⊥ AC ,∠ BAC =120 ° , PA = AB = AC =2,则 此三棱锥外接球的体积为 　　　     . 答案        π 解析 　设△ ABC 外接圆的半径为 r ,三棱锥外接球的半径为 R , ∵ AB = AC =2,∠ BAC =120 ° , ∴ BC =   =   =2   , ∴2 r =   =4,∴ r =2, 由题意知 PA ⊥平面 ABC ,则将三棱锥补成三棱柱可得 R =   = , ∴此三棱锥外接球的体积为   π·(   ) 3 =   π.