高考文科数学复习备课课件：第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 30页

文数 课标版 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理 公理1:如果一条直线上的①　两点    在一个平面内,那么这条直线上所 有的点都在此平面内. 公理2:过②　不在同一条直线上    的三点,有且只有一个平面. 公理2的三个推论: 教材研读 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2:两条③　相交    直线确定一个平面. 推论3:两条④　平行    直线确定一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有⑤　一个    公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线⑥　平行    . 2.空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类:  . 　　(2)异面直线所成的角 (i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a' 与b'所成的⑩　 锐角(或直角)    叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (ii)范围:          .3.有关角的重要定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 　 相等或互补    . 4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 　相交   、 　平行   、　直线在平面内     三种情况. (2)平面与平面的位置关系有 　平行    、 　相交    两种情况.   　　 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四部分. (×) (2)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记 作α∩β=a. (√) (3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.  (×) (4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A. (×) (5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (×) (6)经过两条相交直线,有且只有一个平面. (√) (7)如果直线a与b没有公共点,则a与b是异面直线. (×)  1.下列命题: ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 其中正确命题的个数是 (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案    C　对于①,未强调三点不共线,故①错误;易知②③正确;对于④, 未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故④错误.故选C. 2.以下四个命题中,正确命题的个数是 (　　) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; ③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案    B　①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A、B、C三点共 线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显 然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正 确. 3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b (　　) A.一定是异面直线　    B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线　    D.不可能是相交直线 答案    C　假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a、b是异面直线矛盾,故选C. 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异 面直线B1C与EF所成的角的大小为　　　    .   答案　60° 解析　连接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1 =B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°. 考点一　平面的基本性质及应用 典例1　已知:空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中 点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG= BC,CH= DC.求证: (1)E、F、G、H四点共面; (2)三直线FH、EG、AC共点.   考点突破 ∵E、F分别是AB、AD的中点, ∴EF∥BD. 又∵CG= BC,CH= DC, ∴GH∥BD,∴EF∥GH, ∴E、F、G、H四点共面.   (2)易知FH与直线AC不平行,但共面,∴设FH∩AC=M, 证明　(1)连接EF、GH, ∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG, ∴M∈EG, ∴FH、EG、AC共点. 方法指导 (1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这 两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选 择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该 点. (3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关 点、线在此平面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 1-1　如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则各 图形中,P,Q,R,S四点共面的是　　　    (填序号).   答案　①②③ 解析　对于①,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为梯形; 对于②,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,顺次连 接P、M、Q、N、R、S,可证明六边形PMQNRS为正六边形;   对于③,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为平行四边形; 对于④,连接PS,PR,SR,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点 不共面. 1-2　如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD且BC= AD; BE∥FA且BE= FA,G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?   解析　(1)证明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD且GH= AD. 又∵BC∥AD且BC= AD,∴GH    BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)C、D、F、E四点共面,证明如下: 证法一:由BE∥FA且BE= FA,G为FA的中点知BE FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG, 由(1)可知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 证法二:如图所示,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M、M ', ∵BE∥FA且BE= FA, ∴B为MA的中点. ∵BC∥AD且BC= AD, ∴B为AM'的中点. ∴M与M'重合. 即EF与CD相交于点M(M'), ∴C、D、F、E四点共面. 考点二　空间两直线的位置关系 命题角度一　两直线位置关系的判定 典例2　如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的 中点,在原正四面体中,   ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是　　　    . 答案　②③④ 解析　把正四面体的平面展开图还原, 如图所示,GH与EF为异面直线, BD与MN为异面直线. 连接GM,易知△GHM为正三角形,则GH与MN成60°角. 易知MN∥AF,且AF⊥DE,则DE⊥MN.   典例3　(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各 图形中直线GH与MN是异面直线的是　　　    .(填序号)   (2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面直线的对数为　　　    . 命题角度二　异面直线的判定 答案　(1)②④　(2)3 解析　(1)①中,直线GH∥MN;②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因 此直线GH与MN异面;③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共面; ④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面. (2)将展开图还原为正方体, 如图所示, 显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与 GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有且只有3对. 方法指导 空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对 于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯 形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于 垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 2-1　给定下列关于异面直线的命题: 命题(1):若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β 的交线,那么c至多与a,b中的一条相交; 命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么 (　　) A.命题(1)正确,命题(2)不正确 B.命题(2)正确,命题(1)不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确 答案    D　当c与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面α上的直线a与 平面β上的b为异面直线,因此判断(1)是假命题,如图所示;对于(2),可以 取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不 平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,从而(2)是假命题.故选D.    考点三　异面直线所成的角 典例4    (2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正 弦值为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D.  答案    A 解析　如图,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方 体,易知平面α为平面AF1E,则m,n所成角为∠EAF1,因为△EAF1为正三角 形,所以sin∠EAF1=sin 60°= ,故选A. 方法指导 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是 要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 3-1　空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别 为BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.   解析　取AC的中点G,连接EG、FG, 则EG∥AB,且EG= AB,FG∥CD且FG= CD,   ∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与 CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°, ∴∠EGF=30°或150°. 由AB=CD知EG=FG, 由EG=FG知△EFG为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°. 故EF与AB所成的角为15°或75°.