高考文科数学复习备课课件：第一节　集合 27页

文数 课标版 第一节　集合 1.元素与集合 (1)集合元素的特性:① 　确定性     、② 　互异性     、无序性. (2)集合与元素的关系:若 a 属于集合 A ,记作③      a ∈ A      ;若 b 不属于集合 A ,记作④      b ∉ A      . 教材研读 (3)集合的表示方法:⑤ 　列举法     、⑥ 　描述法     、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ⑦     N     ⑧     N * 或N +      ⑨     Z     ⑩     Q           R     2.集合间的基本关系 文字语言 记法 集合 间的 基本 关系 子集 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素        A ⊆ B      或        B ⊇ A      真子集 集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至 少有一个元素不属于 A        A ⫋ B      或        B ⫌ A      相等 集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,集合 B 中的每一个元 素也都是集合 A 中的元素 A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔ A = B 注意 空集是   　任何     集合的子集 ⌀⊆ A 空集是   　任何非空     集合的真 子集 ⌀⫋ B (其中 B ≠ ⌀ ) 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示        A ∪ B             A ∩ B      若全集为 U ,则集合 A 的补集为        ∁ U A      图形 表示       意义 A ∪ B =   　{ x | x ∈ A ,或 x ∈ B }     A ∩ B =   　{ x | x ∈ A ,且 x ∈ B }     ∁ U A =   　{ x | x ∈ U ,且 x ∉ A }     4.集合的运算性质 (1)并集的性质: A ∪ ⌀ = A ; A ∪ A = A ; A ∪ B = B ∪ A ; A ∪ B = A ⇔        B ⊆ A      . (2)交集的性质: A ∩ ⌀ = ⌀ ; A ∩ A = A ; A ∩ B = B ∩ A ; A ∩ B = A ⇔        A ⊆ B      . (3)补集的性质: A ∪ ( ∁ U A )=        U      ; A ∩ ( ∁ U A )=        ⌀      ; ∁ U ( ∁ U A )=        A      .   　　 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1){ x | y = x 2 +1}={ y | y = x 2 +1}={( x , y )| y = x 2 +1}.   ( × ) (2)若{ x 2 ,1}={0,1},则 x =0,1.   ( × ) (3){ x | x ≤ 1}={ t | t ≤ 1}.   (√) (4)对于任意两个集合 A , B ,( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B )恒成立.   (√) (5)若 A ∩ B = A ∩ C ,则 B = C .   ( × ) (6)含有 n 个元素的集合有2 n 个真子集.   ( × )   1.若集合 A ={ x ∈N| x ≤   }, a =2   ,则下面结论中正确的是   (　　) A.{ a } ⊆ A 　    B. a ⊆ A 　    C.{ a }∈ A 　    D. a ∉ A 答案     D　因为 a =2   ∉ N, A ={ x ∈N| x ≤   },所以 a ∉ A . 2.(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合 A ={1,3,5,7}, B ={ x |2 ≤ x ≤ 5},则 A ∩ B =   (　　) A.{1,3}　    B.{3,5}　    C.{5,7}　    D.{1,7} 答案     B    ∵ A ={1,3,5,7}, B ={ x |2 ≤ x ≤ 5},∴ A ∩ B ={3,5},故选B. 3.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合 A ={0,2,4,6,8,10}, B ={4,8},则 ∁ A B =   (　　) A.{4,8}　    B.{0,2,6} C.{0,2,6,10}　    D.{0,2,4,6,8,10} 答案     C　由补集定义知 ∁ A B ={0,2,6,10},故选C. 4.设集合 A ={2,3,4}, B ={2,4,6},若 x ∈ A 且 x ∉ B ,则 x =   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.6 答案     B　因为 x ∈ A ,故 x =2或3或4,又因为 x ∉ B ,故 x ≠ 2且 x ≠ 4且 x ≠ 6,故 x =3. 5.若全集 U ={0,1,2,3},且 ∁ U A ={2},则集合 A 的真子集的个数为 　　　     . 答案 　7 解析　 ∵ U ={0,1,2,3}, ∁ U A ={2}, ∴ A ={0,1,3}, ∴集合 A 的真子集的个数为2 3 -1=7. 考点突破 考点一　集合的基本概念 典例1 　(1)设集合 A ={1,2,3}, B ={4,5}, M ={ x | x = a + b , a ∈ A , b ∈ B },则 M 中的 元素个数为   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 (2)若集合 A ={ x ∈R| ax 2 -3 x +2=0}中只有一个元素,则 a =(　　) A.   　    B.   　     C.0　    D.0或   (3)已知集合 A ={ m +2,2 m 2 + m },若3∈ A ,则 m 的值为 　　　     . 答案 　(1)B　(2)D　(3)-   解析 　(1)因为集合 M 中的元素 x = a + b , a ∈ A , b ∈ B ,所以当 b =4, a =1,2,3时, x =5,6,7. 当 b =5, a =1,2,3时, x =6,7,8. 由集合元素的互异性,可知 x =5,6,7,8. 即 M ={5,6,7,8},共有4个元素. (2)当 a =0时,显然成立;当 a ≠ 0时, Δ =(-3) 2 -8 a =0,即 a =   . (3)因为3∈ A ,所以 m +2=3或2 m 2 + m =3. 当 m +2=3,即 m =1时,2 m 2 + m =3, 此时集合 A 中有重复元素3, 所以 m =1不符合题意,舍去; 当2 m 2 + m =3时, 解得 m =-   或 m =1(舍去), 此时 m +2=   ≠ 3符合题意. 所以 m =-   . 易错警示 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母 的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 2.对于集合相等,首先要分析集合中的已知元素与另一个集合中哪一个 元素相等,当不能确定时,要分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意 检验集合中的元素是否满足互异性. 1-1 　已知集合 A ={1,2,4},则集合 B ={( x , y )| x ∈ A , y ∈ A }中元素的个数为   (　　) A.3　    B.6　    C.8　    D.9 答案     D　集合 B 中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2), (4,4),共9个. 1-2 　设 a , b ∈R,集合{1, a + b , a }=   ,则 b - a =   (　　) A.1　    B.-1　    C.2　    D.-2 答案     C　因为{1, a + b , a }=   , a ≠ 0, 所以 a + b =0,则   =-1, 所以 a =-1, b =1.所以 b - a =2. 1-3　 已知 P ={ x |2< x < k , x ∈N},若集合 P 中恰有3个元素,则 k 的取值范围为 　　　     . 答案 　(5,6] 解析 　因为 P 中恰有3个元素,所以 P ={3,4,5},故 k 的取值范围为5< k ≤ 6. 考点二　集合的基本关系 典例2 　(1)已知集合 A ={ x | y =   , x ∈R}, B ={ x | x = m 2 , m ∈ A },则   (　　) A. A ⫋ B 　    B. B ⫋ A 　    C. A ⊆ B 　    D. B ⊆ A (2)已知集合 A ={ x | x 2 -3 x +2=0, x ∈R}, B ={ x |0< x <5, x ∈N},则满足条件 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 (3)已知集合 A ={ x |-2 ≤ x ≤ 5}, B ={ x | m +1 ≤ x ≤ 2 m -1},若 B ⊆ A ,则实数 m 的 取值范围为 　　　     . 答案 　(1)B　(2)D　(3)(- ∞ ,3] 解析　 (1)由题意知 A ={ x |-1 ≤ x ≤ 1}, ∴ B ={ x | x = m 2 , m ∈ A }={ x |0 ≤ x ≤ 1},∴ B ⫋ A ,故选B. (2)由 x 2 -3 x +2=0得 x =1或 x =2,∴ A ={1,2}. 由题意知 B ={1,2,3,4}, ∴满足条件的 C 为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (3)∵ B ⊆ A , ∴①若 B = ⌀ ,则2 m -1< m +1,此时 m <2. ②若 B ≠ ⌀ ,则   解得2 ≤ m ≤ 3. 由①、②可得,实数 m 的取值范围为(- ∞ ,3]. 方法技巧 (1)解答集合间的关系问题的一般步骤:先正确理解两个集合的含义,认 清集合元素的属性,再依据元素的不同属性采用不同的方法进行解答: ①若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解; ②若给定的集合是点集,则用数形结合法求解; ③若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解. 2-1 　若集合 A ={ x | x ≥ 0},且 A ∩ B = B ,则集合 B 可能是   (　　) A.{1,2}　    B.{ x | x ≤ 1}　    C.{-1,0,1}　    D.R 答案    A　因为 A ∩ B = B ,所以 B ⊆ A ,结合选项,因为{1,2} ⊆ A ,所以选A. 变式2-2 　在本例(3)中,若将集合 A 更换为 A ={ x | x <-2或 x >5},求 m 的取值 范围. 解析　∵ B ⊆ A , ∴①当 B = ⌀ 时,2 m -1< m +1, m <2,符合题意. ②当 B ≠ ⌀ 时,   或   解得   或   即 m >4. 综上可知,实数 m 的取值范围为(- ∞ ,2) ∪ (4,+ ∞ ). 变式2-3　 若将本例(3)中的集合 A , B 分别更换为 A ={1,2}, B ={ x | x 2 + mx +1= 0},求 m 的取值范围. 解析　 ①若 B = ⌀ ,则 Δ = m 2 -4<0,解得-2< m <2; ②若 B ={1},则1 2 + m +1=0,解得 m =-2,此时 B ={1},符合题意; ③若 B ={2},则2 2 +2 m +1=0,解得 m =-   ,此时 B =   ,不合题意; ④若 B ={1,2},显然不成立. 综上所述,实数 m 的取值范围为[-2,2). 考点三　集合的基本运算 典例3 　(1)(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合 A ={1,2,3}, B ={ x | x 2 <9},则 A ∩ B =   (　　) A.{-2,-1,0,1,2,3}　    B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3}　    D.{1,2} (2)(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合 A ={ x |-1< x <2}, B ={ x |0< x <3},则 A ∪ B =   (　　) A.(-1,3)　    B.(-1,0)　    C.(0,2)　    D.(2,3) (3)(2015课标Ⅰ,1,5分)已知集合 A ={ x | x =3 n +2, n ∈N}, B ={6,8,10,12,14}, 则集合 A ∩ B 中元素的个数为   (　　) A.5　    B.4　    C.3　    D.2 (4)(2016浙江,1,5分)已知全集 U ={1,2,3,4,5,6},集合 P ={1,3,5}, Q ={1,2,4}, 则( ∁ U P ) ∪ Q =   (　　) A.{1}　    B.{3,5} C.{1,2,4,6}　    D.{1,2,3,4,5} 答案 　(1)D　(2)A　(3)D　(4)C 解析 　(1)由已知得 B ={ x |-3< x <3},∵ A ={1,2,3},∴ A ∩ B ={1,2},故选D. (2)因为 A =(-1,2), B =(0,3),所以 A ∪ B =(-1,3),故选A. (3)由已知得 A ={2,5,8,11,14,17, … },又 B ={6,8,10,12,14},所以 A ∩ B ={8,1 4}.故选D. (4)∵ U ={1,2,3,4,5,6}, P ={1,3,5}, ∴ ∁ U P ={2,4,6},∵ Q ={1,2,4},∴( ∁ U P ) ∪ Q ={1,2,4,6}. 规律总结 解决集合运算问题需注意以下三点: (1)看元素组成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是 解决集合运算问题的前提. (2)看集合能否化简,集合能化简的先化简,再研究其关系并进行运算,可 使问题简单明了,易于求解. (3)注意数形结合思想的应用. 3-1     (2016河南洛阳模拟)设全集 U =R,集合 A ={ x |0< x <2}, B ={ x | x <1},则 图中阴影部分表示的集合为   (　　)   A.{ x | x ≥ 1}　    B.{ x |1 ≤ x <2} C.{ x |0< x ≤ 1}　    D.{ x | x ≤ 1} 答案     B　解法一:题图中阴影部分表示集合( ∁ U B ) ∩ A ,( ∁ U B ) ∩ A ={ x | x ≥ 1} ∩ { x |0< x <2}={ x |1 ≤ x <2}.故选B. 解法二:题图中空白表示集合 B ∪ ( ∁ U A )={ x | x <1} ∪ { x | x ≤ 0或 x ≥ 2}={ x | x <1或 x ≥ 2},∴题图中阴影部分表示的集合为{ x |1 ≤ x <2}. 3-2     (2016贵州贵阳模拟)设集合 A ={ x |1< x <4},集合 B ={ x | x 2 -2 x -3 ≤ 0},则 A ∩ ( ∁ R B )=   (　　) A.(1,4)　    B.(3,4) C.(1,3)　    D.(1,2) ∪ (3,4) 答案     B　由题意得 B ={ x |-1 ≤ x ≤ 3},∴ ∁ R B =(- ∞ ,-1) ∪ (3,+ ∞ ),又 A ={ x |1 < x <4},∴ A ∩ ( ∁ R B )={ x |3< x <4}.故选B. 3-3 　设全集 S ={1,2,3,4},且 A ={ x ∈ S | x 2 -5 x + m =0},若 ∁ S A ={2,3},则 m =      　　     . 答案 　4 解析 　因为 S ={1,2,3,4}, ∁ S A ={2,3},所以 A ={1,4},即1,4是方程 x 2 -5 x + m =0 的两根,由根与系数的关系可得 m =1 × 4=4.