上海教育高中数学二下两条直线位置关系之一 7页

‎11.3(2) 两条直线的夹角 ‎ 上海市控江中学 王蕙萱 教学目标设计 理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力 教学重点及难点 理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.‎ 教学用具准备 多媒体设备 教学流程设计 课堂小结并布置作业 两条直线的夹角公式 两条直线夹角的定义 两直线的夹角 复习引入 运用与深化(例题解析、巩固练习)‎ 一、复习引入 ‎1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．‎ ‎（1）， ； ‎ ‎（2）， ； ‎ ‎（3）， ． ‎ 解：（参考课本p16~17）‎ ‎[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.‎ 思考并回答下列问题 ‎1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？ ‎ 教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.‎ 解答：两条直线的夹角.‎ ‎2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？‎ 解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．‎ ‎[说明]在复习旧知的基础上引人新课.‎ 二、学习新课 关于两直线的夹角 ‎1、概念形成 两条直线的夹角 如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？‎ 平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.‎ 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是 ，而两条相交直线夹角的取值范围是（.‎ 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？‎ ‎[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲 ‎2、夹角公式的推导 分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角 ‎[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.‎ 设两条直线的方程分别为 ‎：（不全为零）‎ ‎：（不全为零）.‎ 设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=，‎ 当时，则如图甲所示;当时，则,如图乙所示.‎ 于是得:.‎ 即为直线与的夹角公式.‎ 特别地,当且仅当时, 与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量)‎ 而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时, 与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率.‎ ‎ [说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是.后者的范围是,因此必须考虑两种情况与;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.‎ ‎3、例题分析 例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：‎ ‎（1）， ； ‎ ‎（2）， ；‎ 解：设与的夹角为，则由两条直线的夹角公式得 ‎(1)‎ 即为所求;‎ ‎(2) 即为所求 ‎[说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得的倾斜角,得出与的夹角为）．‎ 例2：若直线：与：互相垂直，求实数的值.（补充）‎ 解：先把直线的方程化为一般形式：.‎ ‎∵两直线垂直,∴，∴为所求．‎ ‎[说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．‎ 例3：已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.(补充)‎ 解：（方法一）设的方程为（其中为的一法向量），则即 化简为 解方程，得 当时，则，此时方程为 当时，方程为，即 综上, 的方程是或.‎ ‎（方法二）设点斜式，按直线的斜率是否存在分两类讨论 ① 若直线的斜率不存在，则过点直线的方程为，设它与直线的夹角，则 ‎，满足题意.‎ ‎ ②若直线的斜率存在，那么设直线的方程为,即,设它与直线的夹角，则 ‎ 则即,解得, 所以直线的方程为,化简得 ,‎ ‎ 由①②可知, 的方程是或.‎ ‎[说明] ①启发学生探讨“求过某定点，且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值，本例为，目的让学生熟悉反三角的表示.‎ 例4：已知的三个顶点为 ‎(1)求中的大小;(2)求的平分线所在直线的方程. （补充）‎ 解:（1）方法一:直线的方程为:，‎ 直线的方程为:, ‎ 设它们的夹角为,又为锐角,所以=，‎ 则即为所求;‎ 方法二:数形结合,因为即为所求.‎ ‎ （2）方法一：设角平分线所在直线方程，即.由角平分线与两边成等角，运用夹角公式得[‎ ‎ ‎ 解得 ,由题意,舍 所以角平分线的方程为：.[‎ 方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为, 又已知它过点（2，1），‎ 所以，角平分线的方程为：[‎ ‎[说明]①巩固提高.因为本题中,直线的方程为:,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.‎ ‎②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；‎ ‎③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.‎ 三、巩固练习 练习11.3（2） ----1,3 ‎ 四、课堂小结 ‎1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；‎ ‎2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；‎ ‎3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；‎ ‎4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.‎ 五、作业布置 ‎1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4‎ 习题11.3 A组----10,11,12‎ ‎2、思考题：光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程.‎ 解 由.‎ 设的方程为（其中为一法向量，不同时为零）‎ 由反射原理,直线与的夹角等于与的夹角，得,舍去(否则与1重合) ,所以,得的方程为.‎ ‎3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A（0，a），B（0，b），点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值.‎ 答：.‎ ‎[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.‎