2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 9页

www.ks5u.com ‎2.1　直线的倾斜角与斜率 ‎2.1.1　‎倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)‎ ‎2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)‎ ‎3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)‎ ‎1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．‎ ‎2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.‎ 看下面几个问题 ‎[师]大家知道两点确定一条直线，那么经过一点有多少条直线？‎ ‎[生]无数条．‎ ‎[师]那么再给出什么条件就可确定一条呢？‎ ‎[生]倾斜程度．(方向)‎ ‎[师]那么我们今天就将开始学习反应直线倾斜程度的两个量——倾斜角和斜率．‎ ‎1．倾斜角的相关概念 ‎(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.‎ ‎(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.‎ ‎2．斜率的概念及斜率公式 ‎(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．‎ ‎(2)记法：k＝tan α.‎ ‎(3)斜率与倾斜角的对应关系．‎ 图示 倾斜角 ‎(范围)‎ α＝0°‎ ‎0°＜α＜90°‎ α＝90°‎ ‎90°＜α ‎＜180°‎ 斜率 ‎(范围)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ 不存在 ‎(－∞，0)‎ ‎ (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝.‎ 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？‎ ‎[提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°.‎ ‎3．直线的方向向量坐标 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)．‎ 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)‎ ‎(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　)‎ ‎(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　)‎ ‎(4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　)‎ ‎[提示]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)‎ A．0°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°‎ A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.]‎ ‎3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)‎ A． B． C．1 D． A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.]‎ ‎4．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是________．‎ 　[由斜率公式可得＝1，‎ 解之得m＝.]‎ 直线的倾斜角 ‎【例1】　求图中各直线的倾斜角．‎ ‎(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)‎ ‎[解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.‎ ‎(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.‎ ‎(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO ‎＝30°，‎ ‎∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.‎ ‎①　　　　　　②　　　　　　　　③‎ 求直线的倾斜角的方法及两点注意 ‎(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．‎ ‎(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.‎ ‎②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)‎ A．α　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.‎ 故选D.]‎ 直线的斜率 ‎【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)‎ A．1 B．5 C．－1 D．－5‎ ‎(2)(教材P55练习T5改编)经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________.‎ ‎(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．‎ ‎[思路探究]　(1)利用公式k＝(x1≠x2)＝tan α；‎ ‎(2)利用方向向量的共线求解；‎ ‎(3)利用公式k＝tan α(α≠90°)．‎ ‎(1)D　(2)2　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，‎ ‎∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.‎ ‎(2)由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2.]‎ ‎(3)[解]　直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，‎ ‎∴k＝tan 30°＝，k＝tan 120°＝－.‎ 解决斜率问题的方法 ‎(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．‎ ‎(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．‎ ‎(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．‎ ‎4　[依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1.‎ kAC＝＝＝－1，‎ kBC＝＝，‎ 由题意得kAC＝3kBC，‎ ‎∵－1＝3×，解得m＝4.]‎ 直线的倾斜角和斜率的综合 ‎[探究问题]‎ ‎1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？‎ ‎[提示]　斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.‎ ‎2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？‎ ‎[提示]　当k＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角；‎ 当k＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角；‎ 当k＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.‎ ‎3．直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大吗？‎ ‎[提示]　不是，在内，k随α的增大而增大，在内，k也是随α的增大而增大．‎ ‎【例3】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．‎ ‎(1)求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．‎ ‎[思路探究]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.‎ ‎[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.‎ ‎(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.‎ ‎(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，‎ 所以α的取值范围是45°≤α≤135°.‎ ‎1．[变条件]本例中，三点坐标不变，其它条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎[解]　如例题中图所示，‎ 根据斜率公式得kAB＝＝－，‎ kBP＝＝1，‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2．[变条件]本例中，A、B两点坐标不变，其它条件去掉，在直线y＝－1上求一点P，使PA、PB的斜率互为相反数．‎ ‎[解]　∵点P在直线y＝－1上，∴可设点P(x，－1)．‎ 又条件可知kPA，kPB一定存在．‎ 由斜率公式得kPA＋kPB＝＋＝0，‎ 解得x＝.‎ 故所求P点坐标为.‎ 直线的倾斜角和斜率的关系 ‎(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．‎ ‎(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．‎ 直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：‎ 直线 情况 平行于x轴 垂直于x轴 α的 大小 ‎0°‎ ‎0°＜α＜90°‎ ‎90°‎ ‎90°＜α＜180°‎ k的范围 ‎0‎ k＞0‎ 不存在 k＜0‎ k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 ‎1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．3　　　　 B．－2‎ C．2 D．不存在 B　[由直线的斜率公式，得k＝＝－2.]‎ ‎2．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)‎ A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°‎ C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°‎ C　[直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90°＜α＜180°，选C.]‎ ‎3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是________．‎ 　[依题意：kAB＝kAC，即＝，‎ 解得a＝.]‎ ‎4．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．‎ ‎60°或120°　[有如图两种情况：‎ ‎①　　　　　　　②‎ 第一种情况倾斜角α＝90°－30°＝60°，‎ 第二种情况倾斜角α＝90°＋30°＝120°.]‎ ‎5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．‎ ‎[解]　l2的斜率为k2＝＝1，∴l2的倾斜角为45°，‎ 由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°. ‎