专题五 第二讲
一、选择题
1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A.(,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(,1)
[答案] C
[解析] 由题意可得,2k-1>2-k>0,
即解得1
0,b>0)的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A、B两点,若线段AB的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 依题意得=2c,c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,(e-)2=,又e>1,因此e-=,e=,故选A.
(理)(2013·新课标Ⅰ理,4)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
[答案] C
[解析] e== ∴=
∴b2=a2-a2=
∴=,即渐近线方程为y=±x.
3.(文)(2013·湛江测试)从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PFM的面积为( )
A.5 B.6
C.10 D.5
[答案] A
[解析] 抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.设P(m,n),则|PM|=m+2=5,解得m=3.代入抛物线方程得n2=24,故|n|=2,则S△PFM=|PM|·|n|=×5×2=5.
(理)(2013·德州模拟)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(00,b>0)的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,若的最小值为9a,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.5
C.3 D.2或5
[答案] B
[解析] 由双曲线定义得|PF2|=2a+|PF1|,
∴==|PF1|++4a,其中|PF1|≥c-a.当c-a≤2a时,y=x+在[c-a,+∞)上为减函数,没有最小值,故c-a>2a,即c>3a⇒e>3,y=x+在[c-a,+∞)上为增函数,故f(x)min=f(c-a)=c-a++4a=9a,化简得10a2-7ac+c2=0,两边同除以a2可得e2-7a+10=0,解得e=5或e=2(舍去).
6.(2014·新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2| ( )
A.m2-a2 B.-
C.(m-a) D. (m-a)
[答案] D
[解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,故|PF1|·|PF2|=m-a.
二、填空题
7.(2013·安徽理,13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A、B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.
[答案] a≥1
[解析] 显然a>0,不妨设A(,a),B(-,a),C(x0,x),则=(--x0,a-x),
=(-x0,a-x),∵∠ACB=90°.
∴·=(-x0,a-x)·(--x0,a-x)=0.
∴x-a+(a-x)2=0,则x-a≠0.
∴(a-x)(a-x-1)=0,∴a-x-1=0.
∴x=a-1,又x≥0.
∴a≥1.
8.(2014·长沙市模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为________.
[答案]
[解析] 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|==m,因此双曲线的离心率为=.
9.(2014·湖南理,15)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点,则=________.
[答案] +1
[解析] 由题可得C(,-a),F(+b,b),
∵C、F在抛物线y2=2px上,∴
∴=+1,故填+1.
三、解答题
10.(文)(2013·厦门质检)已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
[解析] (1)由16x2-9y2=144得-=1,
∴a=3,b=4,c=5,
∴焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.
(2)由(1)知||PF1|-|PF2||=6,
cos∠F1PF2=
=
==0,
∵∠F1PF2∈(0,180°),∴∠F1PF2=90°.
(理)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,并且直线y=x+b是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点S(0,-)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0,
因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,
所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,解得b=1.
因为e==,∴==,∴a2=2.
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
x2+(y+)2=()2.
当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.
由解得
即两圆相切于点(0,1),
因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).
事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下:
当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1).
若直线l不垂直于x轴,可设直线l的方程为y=kx-,
由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则
又因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-)(kx2-)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·-k·+=0,
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1),
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
一、选择题
11.(文)(2014·唐山市一模)双曲线x2-y2=4左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为, 则a+b= ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
[答案] A
[解析] 解法1:如图,双曲线-=1的左顶点(-2,0)到直线y=x的距离为,又∵点(a,b)为双曲线左支上的点,∴a=-2,b=0,∴a+b=-2.
解法2:由题意得∴a+b=-2.
(理)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是( )
A.3 B.2
C. D.
[答案] B
[解析] 因为AB⊥x轴,又已知△ABE是直角三角形,且显然AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形.所以∠AEB=90°.所以∠AEF=45°.所以AF=EF.易知A(-c,)(不妨设点A在x轴上方),
故=a+c.即b2=a(a+c).得c2-ax-2a2=0,
即e2-e-2=0,解得e=2,或e=-1(舍去).故选B.
12.直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB的中点横坐标为3,则线段AB的长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
[答案] D
[解析] 焦点F(1,0),设l:x=my+1,代入y2=4x中得,y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,∵AB中点横坐标为3,∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=6,∴m=±1,当m=1时,l:y=x-1,代入y2=4x中得x2-6x+1=0,∴x1=3-2,x2=3+2,∴|AB|=|x1-x2|=8,由对称性知m=-1时,结论相同.
13.(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,1)
[答案] C
[解析] 设椭圆的半焦距为c,长半轴长为a,由椭圆的定义及题意知,|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=10,得到a-c-5=0,因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2),所以1<<2,∴0,x2>0,
∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,
∴x1=2x2+2.
由,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
∴x1x2=4,x1+x2==-4.
由,得x+x2-2=0,∴x2=1,∴x1=4,
∴-4=5,∴k2=,k=.
(理)(2014·唐山市二模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.[,1)
[答案] C
[解析] 如图,设切点为A、B,则OA⊥PA,OB⊥PB,∵∠APB=90°,连结OP,则∠APO=45°,∴AO=PA=b,OP=b,∴a≥b,∴a2≤2c2,∴≥,∴e≥,又∵e<1,∴≤e<1.
二、填空题
15.(2014·安徽理,14)若F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(00)的准线与x轴交于点M,过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0),求证:x0>3p;
(2)若直线l的斜率分别为p,p2,p3,…时,相应线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1,N2,N3,…,当00,得0p+2p=3p,∴x0>3p.
(2)∵l的斜率分别为p,p2,p3,…时,对应线段AB的中垂线与x轴交点依次为N1,N2,N3,…(0b>0)的上、下顶点分别为A、B,已知点B在直线l:y=-1上,且椭圆的离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PQ⊥y轴,Q为垂足,M为线段PQ的中点,直线AM交直线l于点C,N为线段BC的中点,求证:OM⊥MN.
[解析] (1)依题意,得b=1.
∵e==,a2-c2=b2=1,∴a2=4.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明:设P(x0,y0),x0≠0,则Q(0,y0),且+y=1.
∵M为线段PQ中点,∴M(,y0).
又A(0,1),∴直线AM的方程为y=x+1.
∵x0≠0,∴y0≠1,令y=-1,得C(,-1).
又B(0,-1),N为线段BC的中点,
∴N(,-1).
∴=(-,y0+1).
∴·=(-)+y0·(y0+1)
=-+y+y0
=(+y)-+y0=1-(1+y0)+y0=0,
∴OM⊥MN.
(理)已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点,且·=0.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
[解析] (1)A(0,1),F(,0),
直线AF:+y=1,
即x+y-=0,
∵AF与⊙M相切,圆心M(3,1),半径r=,
∴=,∴a=,
∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)由·=0知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1,
将y=kx+1代入椭圆C的方程,
整理得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=,
故点P的坐标为(,).
同理,点Q的坐标为(,).
所以直线l的斜率为=.
则直线l的方程为y=(x-)+,
即y=x-.
所以直线l过定点(0,-).