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- 2021-06-25 发布
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[基础题组练]
1.根据如下样本数据:
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
得到的线性回归方程为y=bx+a,则( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
解析:选B.根据给出的数据可发现:整体上y与x呈现负相关,所以b<0,由样本点(3,4.0)及(4,2.5)可知a>0,故选B.
2.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.-1 B.0
C. D.1
解析:选D.所有点均在直线上,则样本相关系数最大,即为1,故选D.
3.(2020·山东德州模拟)已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i=1,2,3,4)满足xi=15, yi=12.若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系,且回归直线方程为y=bx+a,b=0.6,当广告费用为5千元时,可预测销售额为( ),
A.3万元 B.3.15万元
C.3.5万元 D.3.75万元,
解析:选D.由已知xi=15,y i=12,得==3.75,==3,所以3=3.75×0.6+a,解得a=0.75.所以回归直线方程为y=0.6x+0.75.则当x=5时,y=3.75万元.故选D.
4.千年潮未落,风起再扬帆,为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础,某校积极响应国家号召,不断加大拔尖人才的培养力度,据不完全统计
年份(届)
2014
2015
2016
2017
学科竞赛获省级一等奖
及以上的学生人数x
51
49
55
57
103
96
108
107
被清华、北大等世界名校录取的学生人数y
根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为1.35,该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63,据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )
A.111 B.117
C.118 D.123
解析:选B.因为=53,=103.5,所以a=-=103.5-1.35×53=31.95,所以回归直线方程为y=1.35x+31.95.当x=63时,代入解得y=117,故选B.
5.随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
由χ2=,
得χ2=≈9.616.
参照下表,
P(χ2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
下列结论正确的是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析:选C.因为K2≈9.616>6.635,所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,故选C.
6.某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计,得出y与x具有线性相关关系,且回归方程为y=0.6x+1.2.若某城市职工人均工资为5千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为________.
解析:因为y与x具有线性相关关系,满足回归方程y=0.6x+1.2,该城市居民人均工资为x=5,所以可以估计该城市的职工人均消费水平y=0.6×5+1.2=4.2,
所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为=84%.
答案:84%
7.已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
给出散点图如下:
根据以上信息,判断下列结论:
①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;
②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;
③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
其中正确的个数为________.
解析:由散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学的数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高,故③错误.综上,正确的个数为1.
答案:1
8.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,6)都在曲线y=bx2-附近波动.经计算xi=11,yi=13,x=21,则实数b的值为________.
解析:令t=x2,则曲线的回归方程变为线性的回归方程,即y=bt-,此时==,==,代入y=bt-,得=b×-,解得b=.
答案:
9.(2020·云南昆明诊断)某公司准备派出选手代表公司参加某职业技能挑战赛.经过层层选拔,最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上,选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中,完成该项关键技能挑战所用的时间t(单位:秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1:
序号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
t甲
×
96
93
×
92
×
90
86
×
×
83
80
78
77
75
t乙
×
95
×
93
×
92
×
88
83
×
82
80
80
74
73
据表1中的数据,应用统计软件得表2:
均值(单位:秒)
方差
线性回归方程
甲
85
50.2
t甲=-1.59x+99.31
乙
84
54
t乙=-1.73x+100.26
(1)根据上述回归方程,预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间;
(2)若该公司只有一个参赛名额,根据以上信息,判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适?请说明你的理由.
解:(1)当x=16时,t甲=-1.59×16+99.31=73.87(秒),
t乙=-1.73×16+100.26=72.58(秒).
(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次,失败次数都为5次,所以,只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可,根据所给信息,结合(1)中预测结果,综合分析,选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适,理由如下:
因为在相同次数的挑战练习中,两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同,x甲>x乙,乙选手用时更短;
由于S6.635,
所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
(2)根据频率分布直方图和频数分布表知,设备改造前产品为合格品的概率为=,
设备改造后产品为合格品的概率为=>,
显然设备改造后产品合格率更高,因此设备改造后性能更优.
[综合题组练]
1.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15~65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65]
支持“延迟退休”的人数
15
5
15
28
17
(1)由以上统计数据填写2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下
45岁以上
总计
支持
不支持
总计
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.
①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率;
②记抽到45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
参考数据及公式:
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
χ2=
解:(1)列联表如下:
45岁以下
45岁以上
总计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
总计
50
50
100
因为χ2===6.25>3.841,
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁以上的应抽2人.
①抽到1人是45岁以下的概率为=,抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为=.
故所求概率为=.
②X=0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)===,
P(X=2)==.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
故EX=1×+2×=.
2.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划,收集了近6个月广告投入量x(单位:万元)和收益y(单位:万元)的数据如下表:
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量/万元
2
4
6
8
10
12
收益/万元
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
他们用两种模型①y=bx+a,②y=aebx分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值:
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据,需要剔除.
(ⅰ)剔除异常数据后,求出(1)中所选模型的回归方程;
(ⅱ)广告投入量x=18时,(1)中所选模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=
解:(1)应该选择模型①,因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄,所以模型①的拟合精度高,回归方程的预报精度高.
(2)(ⅰ)剔除异常数据,即3月份的数据后,得=×(7×6-6)=7.2,,
=×(30×6-31.8)=29.64.
所以y关于x的回归方程为y=3x+8.04.
(ⅱ)把x=18代入(ⅰ)中所求回归方程得y=3×18+8.04=62.04,
故预报值为62.04万元.
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