2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：选修4－4　第2讲　参数方程 6页

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(0，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|＋|MB|的值．‎ 解：(1)把ρ＝4sin，展开得ρ＝2sin θ＋2 cos θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ　①.‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入①，‎ 即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0　②.‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋3t＋3＝0，‎ 点M的直角坐标为(0，3)．‎ 设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－3，t1·t2＝3，‎ 所以t1<0，t2<0.‎ 则由参数t的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t1＋t2|＝3.‎ ‎2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为：(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l：(t为参数)被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角．‎ 解：(1)圆C：消去参数α得(x－1)2＋(y－)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.‎ 所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，ρ＝4cos.‎ ‎(2)因为直线l：的极坐标方程为θ＝φ，‎ 当θ＝φ时ρ＝4cos＝2.‎ 即cos ＝，‎ 所以φ－＝或φ－＝－.‎ 所以φ＝或φ＝，‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.　‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．‎ 解：(1)因为ρ＝，‎ 所以ρ－ρcos θ＝2，‎ 即ρ＝ρcos θ＋2.‎ 因为x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，‎ 所以x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2－4x－4＝0.‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0.‎ ‎(2)因为 所以2x＋y＋4＝0.‎ 所以曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0.‎ 因为M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，‎ 所以|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．‎ 不妨设M2(r2－1，2r)，点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，‎ 则d＝＝≥＝，‎ 当且仅当r＝－时取等号．‎ 所以|M1M2|的最小值为.‎ ‎4．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；‎ ‎(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．‎ 解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1.‎ 因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以曲线C的极坐标方程为＋＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)点A，则所以A(2，2)．‎ 因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1中可得，t2＋(8＋18)t＋16＝0，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－，t1t2＝，‎ 所以＝＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·广州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(α为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1)依题意得，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0.‎ 直线l的直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16，‎ 设A，B，‎ 则ρ－4ρ1cos －3＝0，即ρ－2ρ1－3＝0，‎ 得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，‎ 又ρ2＝8cos ＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1.‎ C2(4，0)到l的距离d＝＝2，以AB为底边的△PAB的高的最大值为4＋2，‎ 则△PAB的面积的最大值为×1×(4＋2)＝2＋.‎ ‎2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2Pcos θ(P>0)．‎ ‎(1)求直线l过点(－2，－4)的参数方程；‎ ‎(2)已知直线l与曲线C交于N，Q两点，M(－2，－4)，且|NQ|2＝|MN|·|MQ|，求实数P的值．‎ 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.‎ 所以直线l过点(－2，－4)的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由ρsin2θ＝2Pcos θ(P>0)，‎ 得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P>0)，‎ 将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，得y2＝2Px(P>0)．‎ 将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*)‎ Δ＝8P(4＋P)>0.‎ 设点N，Q分别对应参数t1，t2，恰好为上述方程的根，‎ 则|MN|＝t1，|MQ|＝t2，|NQ|＝|t1－t2|.‎ 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.‎ 由(*)得t1＋t2＝2(4＋P)，t1t2＝8(4＋P)>0，‎ 则有(4＋P)2－5(4＋P)＝0，‎ 得P＝1或P＝－4.因为P>0，所以P＝1.‎ ‎3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝－4.‎ ‎(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；‎ ‎(2)若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)由ρcos＝－4，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8，‎ 因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以直线l的普通方程为x－y＋8＝0.‎ 设P(2cos t，2sin t)，则点P到直线l的距离 d＝＝ ‎＝2|sin－2|，‎ 当sin＝1时，dmin＝2，‎ 所以点P到直线l的距离的最小值为2.‎ ‎(2)设曲线C上任意点P(acos t，2sin t)，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，‎ 所以acos t－2sin t＋8>0对任意t∈R恒成立．‎ sin(t－φ)<8，其中cos φ＝，‎ sin φ＝.‎ 从而<8.‎ 由于a>0，解得0