高考数学专题复习：专题2三角函数与平面向量课件 第1讲 10页

专题二　第一讲 一、选择题 ‎1．(2013·北京海淀期中)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(　　)‎ A．y＝sin2x　　　　　　 B．y＝2|cosx|‎ C．y＝cos D．y＝tan(－x)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　逐个判断，用排除法．y＝cos的最小正周期为4π，故C排除；函数y＝sin2x在区间(，π)上不具有单调性，故A排除；函数y＝2|cosx|在区间(，π)上是增函数，故B排除；D正确．‎ ‎2．如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　sin(α＋)－cosα ‎＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.‎ ‎3．(文)(2014·唐山市二模)已知sinα＋cosα＝，则tanα＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵sinα＋cosα＝，‎ ‎∴sin2α＋2sinαcosα＋2cos2α＝3，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴＝3，∴2tan2α－2tanα＋1＝0，∴tanα＝.‎ ‎(理)(2013·浙江理，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．‎ 将sinα＋2cosα＝两边平方可得，‎ sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，‎ ‎∴4sinαcosα＋3cos2α＝.‎ 将左边分子分母同除以cos2α得，‎ ＝，解得tanα＝3或tanα＝－，‎ ‎∴tan2α＝＝－.‎ ‎4．(文)(2014·浙江理，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝sin3x的图像(　　)‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查三角函数图象变换．y＝sin3x＋cos3x＝sin(3x＋)，只需将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位，选D.‎ ‎(理)(2014·福建文，7)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)‎ A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称 ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质．‎ 平移后图象对应函数为y＝sin(x＋)，即y＝cosx，则由y＝cosx图象性质知D正确．‎ ‎5．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是(　　)‎ A．f(x)既是偶函数又是周期函数 B．f(x)最大值是1‎ C．f(x)的图像关于点(，0)对称 D．f(x)的图像关于直线x＝π对称 ‎[答案]　B ‎[解析]　f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一个周期，故A选项正确．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx则t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1‎ 令g′(t)＝0，则t＝±，易知f(x)在区间[－1，－)上单调递减，在(－，)上单调递增，在(，1]上单调递减，g(－1)＝0，g()＝，‎ ‎∴g(t)max＝≠1，故B项错误．‎ ‎6．(文)(2013·天津文，6)函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查正弦型函数的最值. ‎ 令t＝2x－，因为x∈[0，]，所以t∈[－，]，f(x)＝sin(2x－)变为y＝sint，由正弦函数的图象可知，当t＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值为－.‎ ‎(理)用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1、x2、x3、x4、x5且x1＋x5＝，则x2＋x4(　　)‎ A. B．π C. D．2π ‎[答案]　C ‎[解析]　由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可知x1、x5关于x3对称，x2、x4也关于x3对称，∴x2＋x4＝x1＋x5＝，故选C.‎ 二、填空题 ‎7．(2014·陕西文，13)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　本题考查向量垂直、向量坐标运算等．‎ ‎∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.‎ 又0<θ<，‎ ‎∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.‎ ‎8．(2013·宝鸡二模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.‎ ‎[答案]　sin(x＋)‎ ‎[解析]　由题意得A＝，函数的周期为T＝16，‎ 又T＝⇒ω＝，此时f(x)＝sin(x＋φ)，‎ 又f(2)＝，即sin(×2＋φ)＝sin(＋φ)＝1，‎ 解得＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又|φ|<，所以φ＝.‎ 所以函数的解析式为f(x)＝sin(x＋)．‎ ‎9．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：‎ ‎①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝(sinx＋cosx)；‎ ‎③f(x)＝sinx; ④f(x)＝sinx＋.‎ 其中为“互为生成”函数的是________(填序号)．‎ ‎[答案]　①④‎ ‎[解析]　首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2013·北京文，15)已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及最大值；‎ ‎(2)若α∈，且f(α)＝，求a的值．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x ‎＝cos2xsin2x＋cos4x ‎＝(sin4x＋cos4x)‎ ‎＝sin(4x＋)‎ 所以f(x)的最小正周期为，最大值为.‎ ‎(2)因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.‎ 因为α∈(，π)，‎ 所以4α＋∈(，)，‎ 所以4α＋＝，故α＝.‎ ‎(理)(2014·甘肃三诊)已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.‎ ‎(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．‎ ‎[解析]　∵f(x)＝sin(ωx)－2· ‎＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，‎ 由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.‎ ‎(1)由≤x≤得≤x＋≤，‎ ‎∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1.‎ ‎(2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得 sin(C＋)＝1，‎ 而≤C＋≤， 所以C＋＝，解得C＝.‎ 在Rt△ABC中，∵A＋B＝，‎ ‎2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，‎ ‎∴2cos‎2A－sinA－sinA＝0，‎ ‎∴sin‎2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝.‎ ‎∵00，ω>0，|φ|<)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A．(，1) B．(，0)‎ C．(，0) D．(－，0)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知T＝π，∴ω＝2，‎ 由函数图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．‎ 又|φ|<，∴φ＝－，‎ ‎∴f(x)＝Asin(2x－)，‎ 令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋π(k∈Z)．‎ ‎∴一个对称中心为(，0)，故选B.‎ ‎14.(2013·广东佛山二模)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f(－1)等于(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设函数f(x)的最小正周期为T，因为A，B两点之间的距离为5，所以＝5，解得T＝6.所以ω＝＝.又图象过点(0,1)，代入得2sinφ＝1，所以φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.故f(x)＝2sin(x＋)或f(x)＝2sin(x＋)．对于函数f(x)‎ ‎＝2sin(x＋)，当x略微大于0时，有f(x)>2sin＝1，与图象不符，故舍去；综上，f(x)＝2sin(x＋)．‎ 故f(－1)＝2sin(－＋)＝2.故选A.‎ 二、填空题 ‎15．(2013·新课标Ⅱ文，16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　本题考查三角函数的平移变换 y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得，‎ y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x－π＋φ)＝sin(2x－π＋φ＋)＝sin(2x＋φ－)，而它与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．‎ ‎16．(2013·合肥第一次质检)定义一种运算：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a‎1a4－a‎2a3，将函数f(x)＝(，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　f(x)＝cos2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)，将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)＝2cos[2(x＋n)＋]＝2cos(2x＋2n＋)，要使它为偶函数，则需要2n＋＝kπ(k∈Z)，所以n＝－(k∈Z)，因为n>0，所以当k＝1时，n有最小值.‎ 三、解答题 ‎17．(文)已知向量m＝(sin2x＋，sinx)，n＝(cos2x－sin2x,2sinx)，设函数f(x)＝m·n，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域．‎ ‎[解析]　(1)∵cos2x＝2cos2x－1，‎ ‎∴m＝(sin2x＋，sinx)＝(1，sinx)，‎ f(x)＝m·n＝cos2x－sin2x＋2sin2x＝1－cos2x－sin2x＝1－sin(2x＋)．‎ ‎∴其最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝1－sin(2x＋)，‎ ‎∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，‎ ‎∴sin(2x＋)∈[－，1]．‎ ‎∴函数f(x)的值域为[0，]．‎ ‎(理)(2014·中原名校第二次联考)已知函数f(x)＝sinx·cos(x－)＋cos2x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值x时的取值集合；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝3.求a的最小值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sinx(cosx＋sinx)＋cos2x－＝sinxcosx＋cos2x ‎＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.‎ ‎∴函数f(x)的最大值为.当f(x)取最大值时sin(2x＋)＝1，‎ ‎∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.‎ 故x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2)由题意f(A)＝sin(‎2A＋)＋＝，化简得sin(‎2A＋)＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴‎2A＋∈(，)，∴‎2A＋＝，∴A＝.‎ 在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc.‎ 由b＋c＝3，知bc≤()2＝，即a2≥.‎ ‎∴当b＝c＝时，a取最小值.‎