2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷02（人教B版2019） 18页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷02（人教B版2019）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ 为（ ）‎ A．2 B．-2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为直线与垂直，所以，得.‎ ‎2．双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线方程得，，则，，‎ 则双曲线的离心率，‎ ‎3．已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：圆的圆心为，半径为2，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以的最小值为．‎ ‎4．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】解：因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量，‎ 所以，所以 所以．‎ ‎5．已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：抛物线的准线与圆相切，‎ 可得，解得．‎ ‎6．设，向量且，则（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎7．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的离心率（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】关于渐近线的对称点为,设与此渐近线的交点为M,如图所示：‎ 由对称性可得：为的中点，且，‎ 又为的中点，，所以，‎ 因为，所以，‎ 又,为等边三角形， ，故， ‎ 故双曲线的离心率 ‎8．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最大值为.‎ 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】AD ‎【解析】解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，‎ 则，，‎ 故，且为钝角 ‎10．已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】由题，所以 不相等，所以A选项错误；‎ ‎，所以，所以B选项正确；‎ ‎，所以C选项正确；‎ ‎，‎ 即，，所以D选项正确.‎ ‎11．双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）‎ A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C． D．的面积为6‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.‎ 双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，‎ 故选：ABD.‎ ‎12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．线段上存在点，使得 B．平面 C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值 ‎【答案】BD ‎【解析】解：如图，以为坐标原点建系，，为，，轴，‎ ‎，，，，‎ 即 ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴与不垂直，A错误.‎ ‎，都在，上，又 ‎∴，平面，平面 ‎∴平面，B正确 与不平行，则与的距离相等 ‎∴，∴C错误 到的距离就是到平面的距离 到的距离为 ‎∴是定值，D正确.‎ 故选：BD.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．若直线和直线平行，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题可知，，解得或．‎ 当时，两直线方程分别为：，，符合题意；‎ 当，两直线方程分别为：，，两直线重合，不符合题意舍去．‎ ‎14．已知圆与圆，若圆关于一条直线对称的 圆是圆，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ 所以圆的圆心为，半径为；‎ 由得，‎ 所以圆的圆心为，半径为；‎ 又圆关于一条直线对称的圆是圆，所以两圆半径相等，‎ 即，解得.‎ ‎15．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设，，，‎ 因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以对角线．‎ 故答案为:．‎ ‎16．如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线l与相交于点P.‎ ‎（1）当时，直线l的方程为________；‎ ‎（2）_______.‎ ‎【解析】（1）设圆A的半径为R.圆A与直线相切，，圆A的方程为，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，易知直线l的方程为，此时，符合题意；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，‎ 连接，则，‎ ‎，，‎ ‎，解得，‎ 直线l的方程为，‎ 综上，直线l的方程为或；‎ ‎（2），，，‎ 当直线l的斜率不存在时，‎ 得，则，‎ 又，，‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述，为定值，其定值为.‎ 四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题10分）‎ 已知直线：和：的交点为.‎ ‎（1）若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线经过点且与轴，轴分别交于，两点，为线段的中点，求 的面积（其中为坐标原点）.‎ ‎【解析】1）由，求得，可得直线：和：的交点为.‎ 由于直线的斜率为，‎ 故过点且与直线平行的直线的方程为，‎ 即.‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由于直线与轴，轴分别交于，两点，‎ 且为线段的中点，‎ 故，，且点的坐标满足直线的方程，‎ ‎∴，且，求得.‎ 则 ‎ 故的面积为.‎ ‎18．已知空间中三点，，，设，.‎ ‎（1）求向量与向量的夹角的余弦值；‎ ‎（2）若与互相垂直，求实数的值.‎ ‎【解析】（1）∵，，‎ 设与的夹角为，∴；‎ ‎（2）∵，且，‎ ‎∴，即：或.‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 20． 圆心在直线上的圆C与y轴交于两点，求圆C的方程．‎ ‎【解析】设圆的方程为，根据题意可得：，‎ ‎，，联立求解可得.‎ 圆C的方程为．‎ 21． ‎（本小题12分）‎ 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．‎ ‎（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ ‎【解析】由题意可知底面，且，‎ 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以．‎ 所以，，，，．‎ ‎（1）设，则，所以，‎ ‎．若，则，‎ 解得，而，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，，设平面的法向量为，‎ 则，令，则，，所以.‎ 而平面的法向量为，‎ 所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，‎ 故所求二面角的余弦值的大小为.‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知椭圆：过点，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎【解析】（1）由已知，得，，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，代入椭圆方程得，两式相减得，‎ 中点坐标公式得，‎ ‎∴直线方程为 令，，令，‎ ‎.‎ 22． ‎（本小题12分）‎ 如图，已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，记，.‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若对任意的直线，，恒为锐角，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）解：设：，，.‎ 与抛物线联立得：，由韦达定理：，.‎ ‎，，.‎ 由余弦定理：‎ ‎.‎ 故，即的最小值是.‎ ‎（2）解：设，，.‎ 要使，恒为锐角，只需满足恒大于0即可，‎ ‎.‎ ‎①若，则.‎ 即.‎ ‎②若，显然成立.‎ 注意到，，故.‎ 故.‎