高考数学复习 17-18版 第5章 第26课 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 18页

第26课 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ‎√‎ ‎1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移 ‎⇓　　　　　　　　　　　　⇓‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)‎ ‎(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　)‎ ‎(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．‎ ，　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝.]‎ ‎3．(2017·如皋市高三调研一)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为________．‎ f(x)＝－cos 2x　[f(x)＝siny＝sin＝sin ‎＝－cos 2x.]‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为________．‎ 　[把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin 2＝sin为偶函数，则|φ|的最小值是.]‎ ‎5．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图261，则ω＝________.‎ 图261‎ ‎4　[由图象可知，＝x0＋－x0＝，‎ 所以T＝＝，所以ω＝4.]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎　已知函数f(x)＝3sin，x∈R.‎ ‎(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；‎ ‎(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象. ‎ ‎【导学号：62172143】‎ ‎[解]　(1)列表取值：‎ x π π π π x－ ‎0‎ π π ‎2π f(x)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎0‎ 描出五个关键点并用光滑曲线连结，得到一个周期的简图．‎ ‎(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．‎ ‎[规律方法]　1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．‎ ‎2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ ‎(2)(2017·苏北四市联考)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，若所得的图象过点，则φ的最小值为________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象向右平移个单位长度得到．‎ ‎(2)函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，则y＝sin(2x＋2φ)，由＝sin得，‎ ＋2φ＝＋2kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ的最小正值为.]‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图262所示，则相应函数的解析式为________．‎ 图262‎ ‎(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为________．(填序号)‎ ‎①y＝4sin；‎ ‎②y＝2sin＋2；‎ ‎③y＝2sin＋2；‎ ‎④y＝2sin＋2.‎ ‎(1)y＝2sin　(2)④　[(1)由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.‎ ‎(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝ 是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.]‎ ‎[规律方法]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；‎ ‎(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；‎ ‎(3)求φ：常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ ‎[变式训练2]　(2017·泰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图263所示，则f的值为________．‎ 图263‎ ‎－1　[由图象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 ‎　(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎[解]　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝xk∈Z，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎[规律方法]　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．‎ ‎[变式训练3]　(2017·无锡期中)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)‎ 的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172144】‎ ‎[解]　(1)∵f(x)的图象过点，∴sin φ＝.‎ 又0<φ<，∴φ＝，‎ 又∵相邻两条对称轴间的距离为，‎ ‎∴周期为π，‎ 即＝π，ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，其中k∈Z，‎ 则－＋kπ≤x≤＋kπ，其中k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)由已知得：g(x)＝f＝2sin，‎ 即g(x)＝2sin＝2cos.‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ 故当2x＋＝π即x＝时，g(x)min＝g＝－2；‎ 当2x＋＝即x＝0时，g(x)max＝g＝1.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．由图象确定函数解析式 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．‎ ‎2．对称问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．‎ ‎2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．‎ ‎3．由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．‎ ‎4．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域．‎ 课时分层训练(二十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________. ‎ ‎【导学号：62172145】‎ ‎0　[由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4，所以f＝sin＝0.]‎ ‎2．将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为________．‎ y＝sin 2x　[y＝cos 2x＋1 y＝cos 2＋1＝cos＋1＝sin 2x＋1 y＝sin 2x＋1－1＝sin 2x.]‎ ‎3．(2017·苏北四市期末)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图264所示，若AB＝5，则ω的值为________．‎ 图264‎ 　[由题图可知 ＝＝3，‎ ‎∴T＝6，‎ ‎∴ω＝＝＝.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．‎ x＝＋(k∈Z)　[将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．]‎ ‎5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为‎28 ℃‎，12月份的月平均气温最低，为‎18 ℃‎，则10月份的平均气温值为______ ℃. ‎ ‎【导学号：62172146】‎ ‎20．5　[依题意知，a＝＝23，A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos，‎ 当x＝10时，‎ y＝23＋5cos＝20.5.]‎ ‎6．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x 的图象的交点个数是________．‎ ‎7　[法一：函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，y＝cos x的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.‎ 法二：联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x＝cos x解的个数．方程可化为2sin xcos x＝cos x，即cos x(2sin x－1)＝0，‎ ‎∴cos x＝0或sin x＝.‎ ‎①当cos x＝0时，x＝kπ＋，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，共3个；‎ ‎②当sin x＝时，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，π，共4个．‎ 综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点．]‎ ‎7．(2017·盐城期中)已知直线x＝过函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象上的一个最高点，则f的值为________. 【导学号：62172147】‎ ‎－1　[由题意可知f＝±1，即＋φ＝＋kπ，即φ＝－＋kπ.‎ 又－<φ<，所以φ＝－，∴f(x)＝sin.‎ ‎∴f＝sin＝sin ＝－1.]‎ ‎8．(2017·苏州期中)将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．‎ 　[y＝sinf(x)＝sin.‎ 由f(x)＝sin为偶函数可知 －2φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 即φ＝－－，k∈Z，‎ 又0＜φ＜，故φ＝.]‎ ‎9．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图265所示，且|φ|<，则f(x)的单调递减区间为________________．‎ 图265‎ ，k∈Z　[由图象知，周期T＝2×＝2，‎ ‎∴＝2，∴ω＝π.‎ ‎∴π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 又|φ|<，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝cos.‎ 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，‎ 得2k－0，所以T＝2π＝，得ω＝1.‎ 所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2)当x∈时，x＋∈，所以sin∈，即f(x)∈.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·北京高考改编)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则t＝________，s的最小值为________．‎ 　　[因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.所以P.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′.‎ 因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s ‎＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为.]‎ ‎2．若函数y＝cos 2x＋sin 2x＋a在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(－2，－1]　[由题意可知y＝2sin＋a，该函数在上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin在上有两个不同的交点．‎ 结合函数的图象可知1≤－a＜2，所以－2＜a≤－1.]‎ ‎3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的递增区间．‎ ‎[解]　(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，‎ ‎∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，‎ ‎∴5sin＝0，由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，‎ ‎∴y＝5sin.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 故函数f(x)的递增区间为(k∈Z)．‎ ‎4．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0<ω<1)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．‎ ‎(1)试求ω的值；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．‎ ‎[解]　f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx ‎＝2sin.‎ ‎(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin图象的一条对称轴，‎ ‎∴sin＝±1，‎ ‎∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴ω＝k＋(k∈Z)．‎ 又0<ω<1，∴－