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- 2021-06-30 发布
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§6.5 数列的综合应用
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2010·福建改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn取最小值时,n=________.
2.(2010·陕西改编)对于数列{an},“an+1>|an|(n∈N*)”是“{an}为递增数列”的______________条件.
3.若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是________.
4.已知{an}是各项为正数的等比数列,且a6-a2=30,a3·a5=64,则{an}前n项和Sn=________.
5.已知数列{an}满足3an+1+an=4 (n∈N*)且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n -6|<的最小正整数n是________.
6.(2010·浙江)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是________.
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=______.
8.(2010·盐城联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则等比数列{an}的公比为________.
9.(2010·南京第一次调研) 设等差数列{an}的公差d≠0,a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k的值为________.
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)若Sn是等差数列{an}的前n项和,S3与S4的等差中项与等比中项分别为1与S5,求数列{an}的通项公式
11.(16分)某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;若购买某种股票,年分红利为24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.
(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等?
(2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年)
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 )
12.(16分)(2010·南通质检)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an-.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=nan·2n,求数列{bn}的前n项和Sn.
答案
1.6 2.充分不必要 3.0 4.2n-1 5.7
6.d≤-2或d≥2. 7.10 8. 9.3
10.解 设{an}的首项为a1,公差为d.
∵S3与S4的等差中项、等比中项分别为1与S5,
∴
∴
或
∴数列{an}的通项公式为an=1或an=-n+.
11.解 设该人将1万元购买股票,x年后所得的总红利为y万元,则
y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+…+24%(1+6%)x-1
=24%(1+1.06+1.062+…+1.06x-1)
=4(1.06x-1).
(1) 由题意,得4(1.06x-1)=1,
∴1.06x=.
两边取常用对数,得
xlg 1.06=lg =lg 5-lg 4=1-3lg 2.
∴x=≈≈4.
(2)由题意,得4(1.06x-1)=(1+6%)x,
∴1.06x=.解得x≈5.
答 (1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等;
(2)经过大约5年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.
12.解 (1)由已知得an+1-an=-,又a1=2,
∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=2---…-
=2-
=2-=1+=,
a1=2也符合上式,
∴对一切n∈N*,an=.
(2)由(1)知:bn=nan·2n=(n+1)·2n,
∴Sn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n,①
2Sn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1,②
∴①-②得-Sn=2×2+22+23+…+2n-(n+1)×2n+1=2+-(n+1)×2n+1
=2+2n+1-2-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,
∴Sn=n·2n+1.
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