浙江省2014届理科数学专题复习试题选编12：概率与统计（学生版） 25页

浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 12：概率与统计 一、选择题 1. ．（浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学（理）试题）已知随机变量 X 的分布列如右表,则 = （　　） A．0.4 B．1.2 C．1.6 D．2 2. ．（浙江省 2013 年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）集合 { ,1}, { ,1,2},其中 {1, 2,,9},则满足条件 的事件的概率为 （　　） A． B． C． D． 3. ．（浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学（理）试题）袋子A 和 B 中装有若干个均匀的红球和 白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p.若 （　　） A．B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 （　　） A．B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是 ,则 p 的值为 （　　） A． B． C． D． 4. ．（浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）一个口袋中有编号分别为 0,1,2 的小球各 2 个,从这 6 个球中任取 2 个,则取出 2 个球的编号数和的期望为 （　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5. ．（浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石 头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”.现 有 甲、乙两人玩这个游戏,共玩 3 局,每一局中每人等可 能地独立选择一种手势,设甲赢乙的局数为 ξ,则随机变量 ξ 的数学期望是 （　　） A． B． C． D．1 6. ．（浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷）设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这 5 个球随机放入这 5 个盒子内,要求每个盒子内放一个球,记“恰有两个球 的编号与盒子的编号相同”为事件 ,则事件 发生的概率为 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 7.．（浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学（理）试题）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它 们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 =______. )(XD =P x =Q y ∈yx， QP ⊂ 3 1 2 5 3 1 30 13 30 17 2 1 3 1 9 4 3 2 nm + 1 2 1 3 1 4 1 5 A A 6 1 4 1 3 1 2 1 （第 14 题图） 甲 乙 1 9 n 6 8 2 0 2 m 8. ．（浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷）有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如 下表: 同学 甲 乙 丙 概率 0.5 现请三位同学各投篮一次,设 表示命中的次数,若 E = ,则 =__________. 9. ．（浙江省稽阳联谊学校 2013 届高三 4 月联考数学(理)试题（word 版） ）在 这 5 个数字的所有 排 列 中 , 记 为 某 一 排 列 中 满 足 条 件 的 个 数 ( 如 排 列 记 ),则随机变量 的数学期望是____. 10.．（浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学（理）试题）一盒中有 6 个小球,其中 4 个白球,2 个黑球•从 盒中一次任取 3 个球,若为黑球则放 回盒中,若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数 X 的均值 E(X) =____. 11.．（浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备 一件礼物,先将礼物集中在一个袋子中,每人从 中随机抽取一件礼物.设恰好抽到自 己 准备的礼物的 人数为 ,则 的数学期望 E =_____. 12.．（浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）某机关的 年新春联欢会原定 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映军民联手抗震救灾的节目,将这两个节目随机地排入 原节目单,则这两个新节目恰好排在一起的概率是__________; 13.．（浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学（理）试题）某保险公司新开设了一项保险业务,若 在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一年内 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交保险金为______. 14.．（【解析】浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学（理）试题）甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动, 在一个不透明的摸奖箱中有六个同样大小、同样光滑的小球,每个小球标有一个编号,编号分别为 1,2,3,4,5,6,活动规则是:每个人从这个摸奖箱中连续摸 3 次,每次摸一个球,每次摸完后,记下小球 上的编号再将其放回箱中,充分搅拌后再进行下一次的摸取,三次摸完后将三个编号相加,若三个编号 的和为 4 的倍数,则能得到一个纪念品,记获得纪念品的人数为 ,则 的期望为____________. 15.．（浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷）一袋中装有大小相同的 3 个红球,3 个黑球 和 2 个 白 球 , 现 从 中 任 取 2 个 球 , 设 X 表 示 取 出 的 2 个 球 中 黑 球 的 个 数 , 则 X 的 数 学 期 望 EX=______________. 16.．（浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学（理）试题）某学校高一、高二、高三共有 2400 名学 生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知高一有 760 名学生,高二有 840 名学生,则在该学校的高三应抽取______名学生. 17.．（浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）右图是全国少数民族运动会上,七 位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉 7 个分数中的一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均数是_____ ,方差为_____; 18.．（浙江省杭州高中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题）正四面体的 个面分别写有 ,将 个 1 2 3 4 5, , , , 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ξ 1 2 3 4 5,( , , , , )ia i i= = 1 5 3 2 4, , , , 2ξ = ξ ξ ξ ξ X X 4 4,3,2,1 3 a a ξ ξ 6 7 a 2009 10 7 8 9 9 4 4 6 4 7 3 这样质地均匀的正四面体同时投掷于桌面上,记 为与桌面接触的 个面上的 个数中最大值与最小 值之差的绝对值,则 的期望为 _________. 19.．（浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学（理）试题）如图所示是一容量为 100 的样本的频率分 布直方图,则由图形中的数据,可知其中位数为_____________. 20.．（浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学（理）试题）为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情 况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查.图 1 表示每个月所调 查的养鸡场的个数,图 2 表示三个月中各养鸡场注射了疫苗的鸡的数量的平均数.根据下图表提供的 信息,可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为_____________万只. 21.．（浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷）在总体中抽取了一个样本,为了便于计算, 将样本中的每个数据除以 后进行分析,得出新样本的方差为 ,则估计总体的标准差为______ 22.．（浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学（理）试题）在公园游园活动中有这样一个游戏项目: 甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同;每 次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球,若摸出 的白球不少于 2 个,则获奖(每次游戏结束后将 球放回原箱).在两次游戏中,记获奖次数为 ,则 的数学期望为___________. 23.．（浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学（理）试题）有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个 红球和 5 个黄球,一次摸出 5 个,若颜色相同则得 100 分,若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得 50 分, 其他情况不得分.小张摸一次得分的期望是分____________. 24.．（浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学（理）试题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调 查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居民的收入与年龄、学 历 、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000)(元)月收入段应抽出______________人. ξ 3 3 ξ 100 9 X X 25.．（浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学（理）试题）有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参 加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概 率为_____. 三、解答题 26.．（温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题）从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子 中,每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率; (Ⅱ)记试验次数为 ,求 的分布列及数学期望 . 27.．（浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学（理）试题）浙江省某示范性高中为了推进新课程改 革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时 开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任 何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称 为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表: 信 息 技 术 生物 化学 物理 数学 周一 周三 周五 (Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ,求随即变量 的分布列和数学期望. 28.．（浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知盘中有编号为 A,B,C,D 的 4 个红 球,4 个黄球,4 个白球(共 12 个球)现从中摸出 4 个球(除编号与颜色外球没有区别) (I)求恰好包含字母 A, B,C,D 的概率); (II)设摸出的 4 个球中出现的颜色种数为随机变量 X.球 Y 的分布列和期望 E(X). 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 20001500 0.0002 0.0001 400025001000 月收入（元） 频率/组距 X X ( )E X 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 ξ ξ 29.．（浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）某地区为下岗人员免费提供财会 和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或 不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择 是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 为 3 人中参加过培训的人数,求 的分布列和期望. 30.．（浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学（理）试题）已知A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的 6 个顶点,在顶点取自 A,B,C,D,E,F 的所有三角形中,随机(等可能)取一个三角形.设随机变量 X 为取出 三角形的面积. (Ⅰ) 求概率 P ( X= ); (Ⅱ) 求数学期望 E ( X ). 31.．（浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学（理）试题）一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假 设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的. (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作 完成后将球放回),某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ,求 的分布列和数学期望. 32.．（浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学（理）试题）袋中有九张卡片,其中红色四张,标号分别为 0,1,2,3;黄色卡片三张,标号分别为 0,1,2;白色卡片两张,标号分别为 0,1.现从以上九张卡片中任取 (无放回,且每张卡片取到的机会均等)两张. (Ⅰ)求颜色不同且卡片标号之和等于 3 的概率; (Ⅱ)记所取出的两张卡片标号之积为 ,求 的分布列及期望. ξ ξ 3 4 ξ ξ X X 33.．（浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷）某竞猜活动有 4 人参加,设计者给每 位参与者 1 道填空题和 3 道选择题,答对一道填空题得 2 分,答对一道选择题得 1 分,答错得 0 分,若 得分总数大于或等于 4 分可获得纪念品,假定参与者答对每道填空题的概率为 ,答对每道选择题的 概率为 ,且每位参与者答题互不影响. (Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得 3 分的概率; (Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望. 34.．（浙江省永康市 2013 年高考适应性考试数学理试题 ）把 3 个大小完全相同且分别标有 1、1、2 编号的 小球,随机放到 4 个编号为 、 、 、 的盒子中. (Ⅰ)求 2 号小球恰好放在 号盒子的概率; (Ⅱ)记 为落在 盒中所有小球编号的数字之和(若盒中无球,则数字之和为 0),求随机变量 的分布 列和数学期望 . 35.．（浙江省六校联盟 2013 届高三回头联考理科数学试题）口袋内有 个大小相同的球,其中有 3 个 红球和 n-3 个白球,已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 p,且 .若有放回地从口袋中 连续地取四次球(每次只取一个球),在四次取球中恰好取到两次红球的概率大于 (Ⅰ)求 p 和 n; (Ⅱ)不放回地从口袋中取球(每次只取一个球),取到白球时即停止取球,记 为第一次取到白球时的 取球次数,求 的分布列和期望 E . 36.．（浙江省名校新高考研究联盟 2013 届高三第一次联考数学（理）试题）甲乙两支球队进行总决赛,比赛 采用七场四胜 制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两 队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛 门票收入比上一场增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好 为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 ,求 的均值 . 37.．（2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别为 D、E、 F,从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线时,规定 X=0)(1) A B C D B ξ A ξ )(ξE 2 1 3 1 ξ ξ ( 3)n n > 6p N∈ 8 27 ξ ξ ξ X X ( )E X 求 ;(2)求 E(X) 38.．（浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学（理）试题）中华人民共和国《道路交通安全法》中 将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员 血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升),当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时, 为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于 2013 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设 点进行一 次拦查行动,共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结 果画出的频率分布直方图(其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内). (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中 任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 的分布列和期望. 39.．（浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 ）四张编号分别为 1,2,3,4 的卡片,每次从 中取一张,记下编号后放回, 这样取了 3 次. (Ⅰ)求记下的 3 张卡片编号之和为 6 的概率; (Ⅱ)设记下的 3 张卡片中编号的最大值与最小值的差为 ,求 的分布列及数学期望. 1( )2P X ≥ D F E CB A X ξ ξ 40.．（浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）为了了解高一新生住宿的适应 情况,某班抽取了 3 个寝室进行调查.其中每个寝室住有 6 名学生,现每个寝室抽取 2 人,假设抽取的 3 个寝室中对住宿生活不适应的人数分别为 0 人、1 人、2 人.用 表示对住宿生活不适应的人数. (Ⅰ)求 的分布列及数学期望; (Ⅱ)若抽取的学生中不适应住宿生活的人数少于 2 人,就不召开住宿生会议,否则就召开,求经过这次 调查召开住宿生会议的概率. 41.．（浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学（理）试题）一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球, 其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5,4 个白球编号分剐为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 42.．（浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷）四枚不同的金属纪念币 ,投掷 时, 两枚正面向上的概率均为 ,另两枚 (质地不均匀)正面向上的概率均为 ( ). 将这四枚纪念币同时投掷一次,设 ξ 表示出现正面向上的枚数. (1)求 ξ 的分布列(用 表示); (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大,求 的取值范围. 43.．（浙江省 2013 年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）甲设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中 ξ ξ DCBA ,,, BA, 2 1 DC, a 10 << a a a 装有同样大小的 10 个球,分别标有数字 0,1,2,9 这十个数字,摸奖者交 5 元钱可参加一回摸球活动, 一回摸球活动的规则是:摸奖者在摸球前先随机确定(预报)3 个数字,然后开始在袋中不放回地摸 3 次 球,每次摸一个,摸得 3 个球的数字与预先所报数字均不相同的奖 1 元,有 1 个数字相同的奖 2 元,2 个 数字相同的奖 10 元,3 个数字相同的奖 50 元,设 ξ 为摸奖者一回所得奖金数,求 ξ 的分布列和摸奖 人获利的数学期望. 44.．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）一个口袋中装有2个白球和 个红球 ( 且 ),每次从袋中摸出两个球(每次 摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色 相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ) 摸球一次,若中奖概率为 ,求 的值; (Ⅱ) 若 ,摸球三次,记中奖的次数为 , 试写出 的分布列并求其期望. 45.．（浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学（理）试题）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次, 命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙 靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;xk b1.co m (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 46.．（浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）一个口袋中装有大小形状完全相同的 张卡片,其中一张卡片上标有数字 1,二张卡片上标有数字 2,其余 n 张卡片上均标有数字 3( ), 若从这个口袋中随机地抽出二张卡片,恰有一张卡片上标有数字 2 的概率是 , (Ⅰ)求 n 的值 (Ⅱ) 从口袋中随机地抽出 2 张卡片,设 ξ 表示抽得二张卡片所标的数字之和,求 ξ 的分布列和关于 ξ 的数学期望 Eξ 47.．（浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知长方体的长、宽、高分 n 2n ≥ n N ∗∈ 1 3 n 3n = ξ ξ 3+n *Nn∈ 15 8 别为 3、3、4,从长方体的 12 条棱中任取两条.设 为随机变量,当两条棱相交时, ;当两条棱平行时, 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, . (1)求概率 ; (2)求 的分布列及数学期望 . 48.．（浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）甲.乙等五名工人被随机地分到 三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人. (1)求甲.乙被同时安排在 岗位的概率; (2)设随机变量 为这五名工人中参加 岗位的人数,求 的分布列和数学期望. 49.．（浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）甲从装有编号为 的卡片的箱 子中任取一张,乙从装有编号为 的卡片的箱子中 任取一张,用 分别表示甲,乙取得的卡片上的数字. (I)求概率 ; (II)设 ,求 的分布列及数学期望. 50.．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））设袋子中装有 个红球, 个黄 球, 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为 取出此 2 球所得分数之和,.求 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若 ,求 ξ 0ξ = ξ 3=ξ ( 0)P ξ = ξ )(ξE A ξ A ξ 1,2,3,4,5 2,4 ,X Y ( )P X Y> , , X X Y Y X Y ξ ≥=  < ξ , ,A B C a b c 1,2,3 === cba ξ ξ η 9 5,3 5 == ηη DE .:: cba 51.．（浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个 黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 为取出的 4 个球中红球的个数,求 的分布列和数学期望. 52.．（2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）已知甲箱中只放有x 个红球与 y 个白球 且 ,乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若 甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 的值; (Ⅱ)当 时,求取出的 3 个球中红球个数 的期望 . 53.．（浙江省湖州市 2013 年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）学校游园活动有这样一个游 戏项目:甲箱子里装有 个白球和 个黑球,乙箱子里装有 个白球和 个黑球,这些球除颜色外完全相 同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球,若摸出的白球不少于 个,则获奖. (每次游戏结束后 将球放回原箱) (Ⅰ)求在 次游戏中, (i)摸出 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 次游戏中获奖次数 的分布列及数学期望 . 3 2 1 2 2 2 1 3 2 X ( )E X ξ ξ ( , 0,x y ≥ 6)x y+ = ,x y 2x = ξ ( )E ξ 浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 12：概率与统计参考答案 一、选择题 1. C 2. C 解:分类讨论,按 x,y 列表即可,共有 56 个,满足 这样的点有 14 个 3. B 4. C.记取出 2 个球的编号数和为 X,则 X=0, 1, 2, 3, 4 又 , , , , . ∴ . 5. D 6. A 二、填空题 7. 9 8. 9. 10. 4 11. 1 12. 13. 14.答案: 解析:三个编号和的取值范围是 中的整数,其中 4 的倍数可能为 4,8,12,16;4 的组合为(112),8 的组合为(116)、(125)、(134 )、(224)、(332),12 的组合为(156)、(246)、(336)、(345)、(552)、 (444),16 的组合为(664)、(556);(ABC)结构的情况可出现 6 种,(AAB)结构的情况可出现 3 种,(AAA)结 构的只有一种情况,则共有 55 种.每个人获得纪念品的概率为 ,而 ,则 15. 16. 40 17. 85;16; 18. 19. 13 20. .90 21. 300 22. , QP ⊂ 1 55 72 [3,18] 55 216 55(3, )216X B 55 72EX = 8 15 15 11)0( 2 6 === C XP 15 4)1( 2 6 1 2 1 2 === C CCXP 15 5)2( 2 6 2 2 1 2 1 2 =+== C CCCXP 15 4)3( 2 6 1 2 1 2 === C CCXP 15 11)4( 2 6 === C XP 215 1415 4315 5215 4115 10)( =×+×+×+×+×=XE 3 1 ;6 1 ( )ap+1.0 3 4 7 5 3 3 9( 0) 10 10 100P x = = ⋅ = 1 2 7 3 42( 1) 10 10 100P x C= = ⋅ = 7 7 49( 2) 10 10 100P x = = ⋅ = 或 23. ; 24. 25 25. 三、解答题 26.解:(I) (II) ; ; ; ; X 的分布列 1 2 3 4 27.本题主要考查概率、分布列、数学期望等基础知识,同时考查运算求解能力.满分 14 分. 解:(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,则 (Ⅱ) 可能取值为 0,1,2,3,4,5 所以,随即变量 的分布列如下 1 1 2 6 2 8 3( ) 7 C CP A C = = 1 1 2 2 6 2 2 8 13( 1) 28 C C CP X C += = = 2 1 1 2 6 4 2 2 2 2 8 6 9( 2) 28 C C C CP X C C += = ⋅ = 2 2 1 1 2 6 4 2 2 2 2 2 2 8 6 4 5( 3) 28 C C C C CP X C C C += = ⋅ ⋅ = 2 2 2 6 4 2 2 2 2 8 6 4 1( 4) 28 C C CP X C C C = = ⋅ ⋅ = 13 9 5 1 25( ) 1 2 3 428 28 28 28 14E X = × + × + × + × = 9 42 49 7( ) 0 1 2100 100 100 5E X = × + × + × = 7 7 7~ (2, ) ( ) 210 10 5X B E X∴ = × = 7 75 2 3 X P 13 28 9 28 5 28 1 28 18 1)3 21)(3 21)(2 11()( =−−−=AP ξ 48 1)3 21()2 11()0( 4 =−⋅−==ξP 8 1 3 2)2 11()3 21()2 11(2 1)1( 431 4 =⋅−+−⋅−⋅== CP ξ 24 7 3 2)2 11(2 1)3 21()2 11()2 1()2( 31 4 222 4 =⋅−⋅⋅+−⋅−⋅== CCP ξ 3 1 3 2)2 11()2 1()3 21()2 11()2 1()3( 222 4 33 4 =⋅−⋅⋅+−⋅−⋅== CCP ξ 16 3 3 2)2 11()2 1()3 21()2 1()4( 33 4 4 =⋅−⋅⋅+−⋅== CP ξ 24 1 3 2)2 1()5( 4 =⋅==ξP ξ 0 1 2 3 4 5 P = 28. (Ⅰ) P= (Ⅱ) , , . 分布列为: 29. 30.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算求解能 力和应用意识.满分 14 分. (Ⅰ) 由题意得取出的三角形的面积是 的概率 P ( X= )= = . (Ⅱ) 随机变量 X 的分布列为 X P 所以 E ( X )= × + × + × = . 31. (Ⅰ)设从袋子中任意摸出 3 个球, 摸出的球均为白球的概率是 55 9 4 12 1 3 1 3 1 3 1 3 =⋅⋅⋅ C CCCC 1 3 4 12 1( 1) 165 CP X C = = = 2 1 3 2 2 3 1 3 4 4 4 4 4 4 4 12 ( ) 68( 2) 165 C C C C C C CP X C + += = = 1 1 2 4 4 4 4 12 3 32( 3) 55 C C CP X C = = = 1 2 68 3 32 85( ) 165 165 55 33E X × ×= + + = X 1 2 3 P ξ 48 1 8 1 24 7 3 1 16 3 24 1 24 1516 343 1324 728 1148 10 ×+×+×+×+×+×=ξE 3 8 ( ) ( ) ( ) ( ) .7.2 .3,2,1,0;1.09.0;9.0,32;9.025.04.011 3 3 = =⋅⋅==−=×− − ξ ξξ E kCkPB kkk 3 4 3 4 3 6 6 C 3 10 3 4 3 2 3 3 4 3 10 6 10 1 10 3 4 3 10 3 2 6 10 3 3 4 1 10 9 3 20 P .30 1= C C=P 3 10 3 4 165 1 165 68 55 32 (Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率 随机变量 服从二项分布 ,分布列如下 0 1 2 3 32. (Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有 种 颜色不同且标号之和为 3 的情况有 6 种 ∴ (Ⅱ) 0 1 2 3 4 6 33.解:(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为 , 答错填空题且答对三道选择题的概率为 (对一个 4 分) ∴某位参与竞猜活动者得 3 分的概率为 ; (Ⅱ) 由 题 意 知 随 机 变 量 的 取 值 有 0,1,2,3,4. 又 某 位 参 与 竞 猜 活 动 者 得 4 分 的 概 率 为 某位参与竞猜活动者得 5 分的概率为 ∴参与者获得纪念品的概率为 ∴ ,分布列为 , ∴随机变量 的数学期望 = 34.解:(Ⅰ)总的放法有 ,而事件“2 号小球恰好放在 号盒子”包含的基本事件数有 ,所以 2 号小球恰好放在 号盒子的概率为 ; (Ⅱ) 随机变量 的可能取值,0,1,2,3,4, 6443 = B 1642 = B 4 1 ξ 3 2=C CC+C=P 3 10 1 4 2 6 3 6 ξ )3 2,3(B ξ P 27 1 27 6 27 12 27 8 2=ξE 2 9 36C = 6 1 36 6P = = 21 3 6 3 1 2( 0) , ( 1) , ( 2) , ( 3) , ( 4) , ( 6)36 36 36 36 36 36P X P X P X P X P X P X= = = = = = = = = = = = X P 21 36 3 36 6 36 3 36 1 36 2 36 21 3 6 3 1 2 100 1 2 3 4 636 36 36 36 36 36 9EX = × + × + × + × + × + × = 9 2 3 1)3 2(2 1 22 3 =×××C 54 1)3 1(2 1 3 =× 54 13 54 1 9 2 =+ ξ 9 1 3 2)3 1(2 1 22 3 =×××C 54 1)3 1(2 1 3 =× 54 7 )54 7,4(~ Bξ kkkCkP −== 4 4 )54 47()54 7()(ξ 4,3,2,1,0=k ξ ξE 27 14 54 74 =× , , , , 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 P( ) 且 的数学期望 =1 35. 36.解:(I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ,则易知 , 解得 (舍去)或 ,所以此决赛共比赛了 5 场 则前 4 场比赛的比分必为 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 ; 64 27)0( ==ξP 64 18 64 3)1( 21 2 =⋅== CP ξ 64 12 64 3)2( 21 3 =+== CP ξ 64 6 64 3)3( 1 2 =⋅== CP ξ 64 1)4( ==ξP ξ ξ ξ 64 27 64 18 64 12 64 6 64 1 ξ )(ξE { }na 1 40, 10 30na a n= = + (10 70) 300,2n n nS +∴ = = 12n = − 5n = 1:3 1 4 4 1 1( )2 4C = (II)随机变量 可取的值为 ,即 220,300,390,490 又 所以, 的分布列为 220 300 390 490 所以 的均值为 377.5 万元 37. 【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有 个基本事件, 事件“ ”所含基本事件有 ,从而 . ⑵ 的分布列为: 则 . 答: , . 38. (本题满分 14). 解: (1) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人 (2) 易知利用分层抽样抽取 8 人中含有 醉酒驾车者为 2 人; 所以 x 的所有可能取值为 0,1,2; P(x=0)= = ,P(X=1)= = ,P(x=2)= = X 的分布列为 39. (Ⅰ) (Ⅱ) 的分布列 3 6C 20= 1 2X ≥ 2 3 1 7× + = 1 7( )2 20P X =≥ X X 0 1 4 1 2 P 3 20 10 20 6 20 1 20 3 1 10 1 6 1 13( ) 0 120 4 20 2 20 20 40E X = × + × + × + × = 1 7( )2 20P X =≥ 13( ) 40E X = 3 8 3 6 C C 14 5 3 8 1 2 2 6 C CC 28 15 3 8 2 2 1 6 C CC 28 3 4 3 28 3228 15114 50)( =×+×+×=XE 0 1 2 X 4 5 6 7, , ,S S S S 4 1 4 4 1 1 1 1( 220) 2 ( ) , ( 300) ( )2 8 2 4P X P X C= = ⋅ = = = = 2 5 3 6 5 6 1 5 1 5( 390) ( ) , ( 490) ( )2 16 2 16P X C P X C= = = = = = X X P 1 8 1 4 5 16 5 16 X ( )E X = .32 5 444 11 3 3 3 =×× ++= CAp ξ X P 14 5 28 15 28 3 40. (Ⅰ) 的分布列为: 0 1 2 3 (Ⅱ) 41. 42.解:(Ⅰ)由题意可得 ξ 的可能取值为 . 8 15=ξE 45 22 225 110)1(,15 4 225 60)0( 2 6 1 4 1 2 2 6 2 5 2 6 2 4 2 6 1 5 2 6 2 4 2 6 2 5 ==⋅⋅+⋅====⋅== C CC C C C C C CP C C C CP ξξ 45 1 225 5)3(,9 2 225 50)2( 2 6 2 2 2 6 1 5 2 6 2 2 2 6 2 5 2 6 1 4 1 2 2 6 1 5 ==⋅====⋅+⋅== C C C CP C C C C C CC C CP ξξ ξ ξ P 15 4 45 22 9 2 45 1 145 139 2245 221 =×+×+×=ξE 45 11 45 1 9 2)3()2()2( =+==+==≥ ξξξ PPP 4,3,2,1,0 ∴ξ 的分布列为 (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ,解得 ∴ 的取值范 43. ξ ξ ξ0 21 2 23 34 ( ) 222 )1(4 11)2 11()0( aaP −=−−==ξ ( ) )1(2 1)2 11)(1(1)2 11(2 1)1( 21 2 21 2 aaaCaCP −=−−+−−==ξ ( ) )221(4 1)2 11()2 11(2 1)1(1)2 1()2( 2221 2 1 2 22 aaaCaaCaP −+=−+−−+−==ξ ( ) 2)2 11(2 11)2 1()3( 1 2 21 2 2 aCaaaCP =−+−==ξ 222 4 1)2 1()4( aaP ===ξ 10 << a )3()4(,)1()0( =<==<= ξξξξ PPPP      >− −+>− aa aaa 2 1)1(2 1 )221(4 1)1(2 1 2       < −<+> 2 1 2 22 2 22 a aa 或 a )2 22,0( − P P 2)1(4 1 a− 2)1(4 1 a− )1(2 1 a− )1(2 1 a− )221(4 1 2aa −+ a2 1 a2 1 2 4 1 a 2 4 1 a 44. 45. 46.解(Ⅰ).由题设 ,即 ,解得 (Ⅱ) ξ 取值为 3,4,5,6. 则 ; ; ; ξ 的分布列为: ∴Eξ= 47.解:(1)若两条棱相交,则交点必为长方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,所以共有 对相交棱,因此 (2)若两条棱平行则他们的距离为 3,4,5, , 2 38C 11 4 66 248)0( 2 12 2 3 ==== C CP ξ 23 15 8 2 3 1 2 1 1 = + + n n C CC 0352 2 =−− nn 3=n 15 2)3( 2 6 0 3 1 2 1 1 === C CCCP ξ 15 4)4( 2 6 1 3 0 2 1 1 0 4 2 2 =+== C CCCCCP ξ )5( =ξP 15 6 2 6 1 3 1 2 0 1 == C CCC 15 3)6( 2 6 2 3 0 2 0 1 === C CCCP ξ 3 14 15 70 15 3615 6515 4415 23 ==×+×+×+× , --------- , 所以随机变量 的分布列为: 0 3 4 5 [来源: 学§科§网 Z§X§X§K] 48. 49. (I) (II) 33 2 66 44)4( 2 12 ==== CP ξ 33 2 66 44)5( 2 12 ==== CP ξ 33 1 66 22)23( 2 12 ==== CP ξ 33 16 66 32 66 24 66 2421)0()23()5()4(1)3( 2 12 ==−−−==−=−=−=−== CPPPPP ξξξξξ ξ ξ 23 )(ξP 11 4 33 16 33 2 33 2 33 1 33 2366 33 12333 2533 2433 163)( +=×+×+×+×=ξE ( ) 2 5P X Y> = 50.解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ,此时 ;当两次摸到的 球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别 是红黄,黄红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 , 此 时 ; 当 两 次 摸 到 的 球 分 别 是 蓝 蓝 时 , 此 时 ;所以 的分布列是: 2 3 4 5 6 P (Ⅱ)由已知得到: 有三种取值即 1,2,3,所以 的分布列是: 1 2 3 P 所 以 : , 所 以 . 51.解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 ,“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 . 由于事件 相互独立,且 , . 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 . (Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球”为事件 ,“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 . 37 10Eξ = 2 3 4 5 2ξ = 3 3 1( 2) 6 6 4P ξ ×= = =× 4ξ = 2 2 3 1 1 3 5( 4) 6 6 6 6 6 6 18P ξ × × ×= = + + =× × × 3ξ = 3 2 2 3 1( 3) 6 6 6 6 3P ξ × ×= = + =× × 5ξ = 1 2 2 1 1( 5) 6 6 6 6 9P ξ × ×= = + =× × 6ξ = 1 1 1( 6) 6 6 36P ξ ×= = =× ξ ξ 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 η η η a a b c+ + b a b c+ + c a b c+ + 2 2 2 5 2 3 3 5 5 5 2 5 3(1 ) (2 ) (3 )9 3 3 3 a b cE a b c a b c a b c a b cD a b c a b c a b c η η  = = + + + + + + + +  = = − × + − × + − × + + + + + + 2 , 3 : : 3: 2 :1b c a c a b c= = ∴ = A B A B， 2 3 2 4 1( ) 2 CP A C = = 2 4 2 6 2( ) 5 CP B C = = 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 5 5P A B P A P B= = × =· · C D ξ P 1 5 1 10 1 2 1 5 由于事件 互斥, 且 , 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 . (Ⅲ) 可能的取值为 .由(Ⅰ),(Ⅱ)得 , , .从而 . 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望 52.解:(I)由题意知 , 当且仅当 时等号成立, 所以,当 取得最大值时 . (II)当 时,即甲箱中有 个红球与 个白球, 所以 的所有可能取值为 则 , , , , 所以红球个数 的分布列为 C D， 2 1 1 3 2 4 2 2 4 6 4( ) 15 C C CP C C C = =·· 1 2 3 4 2 2 4 6 1( ) 5 C CP D C C = =· 4 1 7( ) ( ) ( ) 15 5 15P C D P C P D+ = + = + = ξ 01 2 3，，， 1( 0) 5P ξ = = 7( 1) 15P ξ = = 1 3 2 2 4 6 1 1( 3) 30 CP C C ξ = = =· 3( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 10P P P Pξ ξ ξ ξ= = − = − = − = = ξ ξ P 1 5 7 15 3 10 1 30 ξ 1 7 3 1 70 1 2 35 15 10 30 6Eξ = × + × + × + × = 20 3)2(60 1 60. 2 1 1 =+≤=⋅= γxxy Cx CCP L r yx = P 3== yx 2=x 2 4 ξ 3,2,1,0 5 1)0( 1 4 2 6 1 1 2 4 === CC CCP ξ 15 7)1( 1 4 2 6 1 2 2 4 1 2 1 4 1 2 =+== CC CCCCCP ξ 10 3)2( 1 4 2 6 1 2 1 4 1 2 1 2 2 2 =+== CC CCCCCp ξ 30 1)3( 1 4 2 6 1 2 === CC CP ξ ξ 于是 . 53.解:(I)(i)解:设“在 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 ,则 (ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 ,则 ,又 , 且 互斥,所以 (II)解:由题意可知 的所有可能取值为 , , 所以 的分布列是 X 0 1 2 P 所以 的数学期望 1 ( 0 1 2 3)iA i = ，，， ( ) 2 1 3 2 3 2 2 5 3 1.5 C CP A C C = ⋅ = B 2 3B A A=  ( ) 2 2 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 5 3 1 2 C C C C CP A C C C C = ⋅ + ⋅ = 2 3A A、 ( ) ( ) ( )2 3 71 1 2 5 10P B P A P A= + = + = X 0 1 2、、 ( ) ( )27 90 1 10 100P X = = − = ( ) ( )1 2 7 7 211 110 10 50P X C= = − = ( ) ( )27 492 10 100P X = = = X 9 100 21 50 49 100 X ( ) 9 49 7210 1 2100 50 100 5E X = × + × + × = 6 7=ξE