高考数学专题复习：专题2三角函数与平面向量课件 第3讲 8页

专题二 第三讲 一、选择题 1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量 a、b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5 [答案] A [解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积． ∵|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6. 联立方程解得 ab＝1，故选 A. 2．设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( ) A. 5 B. 10 C．2 5 D．10 [答案] B [解析] 本题考查向量的模及垂直问题． ∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2， ∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝ 10. 3．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) [答案] B [解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内 的其它向量．A 中，e1＝0，且 e2 与 a 不共线；C、D 中的两个向量都是共线向量且不与 a 共线，故表示不出 a.B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出 a， 4．(文)如果不共线向量 a、b 满足 2|a|＝|b|，那么向量 2a＋b 与 2a－b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.2π 3 [答案] C [解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0， ∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选 C. (理)若两个非零向量 a、b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 [答案] C [解析] 解法 1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝ 3|a|，则 cosθ＝－2a2 4a2 ＝－1 2 ⇒θ＝2π 3 . 解法 2：由向量运算的几何意义，作图可求得 a＋b 与 a－b 的夹角为2π 3 . 5．(2014·新课标Ⅰ文，6)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，则EB→ ＋FC→＝( ) A.AD→ B.1 2AD→ C.BC→ D.1 2BC→ [答案] A [解析] 如图， EB→＋FC→ ＝－1 2(BA→＋BC→)－1 2(CB→＋CA→) ＝－1 2(BA→＋CA→)＝1 2(AB→＋AC→) ＝AD→ . 选 A. 6．若 a、b、c 均为单位向量，且 a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) A. 2－1 B．1 C. 2 D．2 [答案] B [解析] |a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c) (a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2 ＝1－(a·c＋b·c)≤0， ∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1. 二、填空题 7．(文)(2014·湖北文，12)若向量OA→ ＝(1，－3)，|OA→ |＝|OB→ |，OA→ ·OB→ ＝0，则|AB→|＝________. [答案] 2 5 [解析] |OA→ |＝|OB→ |，OA→ ·OB→ ＝0⇒△AOB 是直角边为|OA→ |＝ 10的等腰直角三角形，AB 是斜边，所以|AB→|＝2 5.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则 可以避免复杂的代数运算． (理)(2014·江西理，14)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α，且 cosα＝1 3 ，向量 a＝3e1－2e2 与 b＝3e1－e2 的夹角为β，则 cosβ＝________. [答案] 2 2 3 [解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算． 依题意 e1·e2＝|e1||e2|cosα＝1 3 ，∴|a|2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9，∴|a|＝3， |b|2＝9e21－6e1·e2＋e22＝8，a·b＝9e21－9e1·e2＋2e22＝8，∴|b|＝2 2， cosβ＝ a·b |a|·|b| ＝ 8 3×2 2 ＝2 2 3 . 8．(2013·重庆文，14)若 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA→ ＝(－3,1)，OB→ ＝(－2， k)，则实数 k＝________. [答案] 4 [解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算． ∵OA→ ＝(－3,1)，OB→ ＝(－2，k)，∴AB→＝OB→ －OA→ ＝(1，k－1)． 由题意知OA→ ⊥AB→，∴OA→ ·AB→＝0 即(－3,1)·(1，k－1)＝0. ∴－3＋k－1＝0，∴k＝4. 9．已知向量 a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 (1)与 2a＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量 b－3a 与向量 a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(3 10 10 ， 10 10 ) (2)－2 5 5 [解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋ (1,1)＝(3,1)，其单位向量为(3 10 10 ， 10 10 )， (2)∵b－3a＝(－2,1)，|a|＝1，|b－3a|＝ 5，a·(b－3a)＝－2，∴cos〈a，b－3a〉＝a·b－3a |a|·|b－3a| ＝－2 5 5 . 10．如图所示，A、B、C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于 圆 O 外的点 D，若OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，则 m＋n 的取值范围是________． [答案] (－1,0) [解析] 根据题意知，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D，则OD→ ＝tOC→ . ∵D 在圆外，∴t<－1， 又 D、A、B 共线，∴存在λ、μ，使得OD→ ＝λOA→ ＋μOB→ ，且λ＋μ＝1，又由已知，OC→ ＝ mOA→ ＋nOB→ ， ∴tmOA→ ＋tnOB→ ＝λOA→ ＋μOB→ ， ∴m＋n＝1 t ，故 m＋n∈(－1,0). 一、选择题 11．设向量 a，b 满足|a|＝2，a·b＝3 2 ，|a＋b|＝2 2，则|b|等于( ) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 [答案] B [解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1. 12．(文)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若OA→ ＋2OC→ ＝3OB→ ，则|BC→| |AB→| 的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 [答案] A [解析] 如图，设OD→ ＝2OC→ ，作▱OAED，则OE→ ＝3OB→ ， ∴|AB→|＝|DF→ |＝2|BC→|，∴|BC→| |AB→| ＝1 2. (理)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP→＝4FQ→ ，则|QF|＝( ) A.7 2 B.5 2 C．3 D．2 [答案] C [解析] 抛物线的焦点坐标是 F(2,0)，过点 Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是 A，则|QA| ＝|QF|，抛物线的准线与 x 轴的交点为 G，因为FP→＝4FQ→ ，∴|PQ→ | |PF→| ＝3 4 ，由于三角形 QAP 与 三角形 FGP 相似，所以可得|QA| |FG| ＝|PQ→ | |PF→| ＝3 4 ，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3. 13．(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形 ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于 D，AB＝4，AD→ ＝1 4AC→＋λAB→(λ∈R)，则 AD 的长为( ) A．1 B. 3 C．3 D．3 3 [答案] D [解析] 在 AC 上取 E 点，在 AB 上取 F 点，使AE→＝1 4AC→，AF→＝λAB→， ∵AD→ ＝1 4AC→＋λAB→＝AE→＋AF→， ∴DE∥AB，DF∥AC，∴AF BF ＝CD BD ＝CE AE ＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3， 在△ADF 中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3 3. (理)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)，B(0， 3)，C(3,0)， 动点 D 满足|CD→ |＝1，则|OA→ ＋OB→ ＋OD→ |的取值范围是( ) A．[4,6] B．[ 19－1， 19＋1] C．[2 3，2 7] D．[ 7－1， 7＋1] [答案] D [解析] 考查了向量的坐标运算，圆的有关知识． 设 D(x，y)，则由|CD→ |＝1，得(x－3)2＋y2＝1， 而|OA→ ＋OB→ ＋OD→ |＝ x－12＋y＋ 32表示点 D(x，y)到点(1，－ 3)的距离，(x－3)2＋ y2＝1 表示以(3,0)为圆心，1 为半径的圆，点(1，－ 3)与点(3,0)的距离为 7，∴|CA→＋OB→ ＋OD→ | 的取值范围为[ 7－1， 7＋1]． 14．(2014·浙江理，8)记 max{x，y}＝ x，x≥y y，x|a－b|，此时|a＋b|2>|a|2＋|b|2. 当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|2<|a|2＋|b|2<|a－b|2. 当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2. 故选 D. 二、填空题 15．(2014·山东理，12)在△ABC 中，已知AB→·AC→＝tanA，当 A＝π 6 时，△ABC 的面积为 ________. [答案] 1 6 [解析] AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosπ 6 ＝tanπ 6 ∴|AB→||AC→|＝2 3 S△ABC＝1 2|AB→||AC→|sinπ 6 ＝1 2 ×2 3 ×1 2 ＝1 6. 16．(文)(2013·苏北四市一调)如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，设AD→ ＝ a，AB→＝b，若AB→＝2DC→ ，则AO→ ＝________(用向量 a 和 b 表示)． [答案] 2 3a＋1 3b [解析] 据题意可得AC→＝AD→ ＋DC→ ＝AD→ ＋1 2AB→＝a＋1 2b，又由AB→＝2DC→ ，可得AO→ ＝2 3AC→＝ 2 3(a＋1 2b)＝2 3a＋1 3b (理)(2013·南昌高三调研)已知 O 为坐标原点，点 M(3,2)，若 N(x，y)满足不等式组 x≥1， y≥0， x＋y≤4. 则OM→ ·ON→ 的最大值为________． [答案] 12 [解析] 据不等式组得可行域如图所示： 由于 z＝OM→ ·ON→ ＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点 A(4,0)为目标函数取得最大值的最 优解．即 zmax＝3×4＋2×0＝12. 三、解答题 17．已知向量 a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量 b＝( 3，－1)． (1)若 a⊥b，求θ的值； (2)若|2a－b|4. 18．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c. (1)设向量 x＝(sinB，sinC)，向量 y＝(cosB，cosC)，向量 z＝(cosB，－cosC)，若 z∥(x ＋y)，求 tanB＋tanC 的值； (2)若 sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2. [解析] (1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)， ∵z∥(x＋y)， ∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0， 整理得 tanC＋tanB＋2＝0， ∴tanC＋tanB＝－2. (2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0， ∴由正、余弦定理得：a·a2＋b2－c2 2ab ＋3×b2＋c2－a2 2bc ×c＝0， ∴a2－c2＝2b2.