高中数学必修1教案：第四章（第15课时）两角和差的正弦余弦正切（4） 8页

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（4）‎ 教学目的：‎ 通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧 教学重点： 进行角的变换，灵活应用基本公式 教学难点： 进行角的变换，灵活应用基本公式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两角和与差的正、余弦公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、讲解范例： ‎ 例1 化简 解：原式=‎ 或解：原式=‎ 例2 已知，求函数的值域 解： ‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ ∴ ∴函数y的值域是 例3 已知 ， 求的值 解：∵ ‎ 即： ‎ ‎∵ ∴ ‎ 从而 而 ‎∴‎ 例4 已知 求证tana=3tan(a+b)‎ ‎ 证：由题设：‎ 即 ‎∴ ‎ ‎ ∴tana=3tan(a+b)‎ 例5 已知，，，‎ 求sin2a的值 ‎ 解：∵ ‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎ ∴ ‎ 又 ∴‎ ‎∴sin2a=‎ ‎ =‎ 例6证明A＋B＋Ｃ＝nπ(n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ 选题意图：考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法 证明：(先证充分性)‎ ‎（n∈Z）‎ ‎ (再证必要性)‎ 由A＋B＋Ｃ＝nπ即A＋B＝nπ－Ｃ 得tan（A＋B）＝－tanＣ tanA＋tanB＋tanＣ＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanＣ ‎＝－tanＣ（1－tanAtanB）＋tanＣ ‎＝tanAtanBtanＣ 说明：本题可考虑证明A＋B＝nπ－Ｃ（n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ较为简单 例7求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1‎ 选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用 证明：左端＝‎ 说明：可在△ABC中证明 例8已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2‎ 选题意图：考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法 证明：(先证充分性)‎ 由(1＋tanA）（1＋tanB）＝2即1＋（tanA＋tanB）＋tanA·tanB＝2‎ 得tan（A＋B）［1－tanAtanB］＝1－tanA·tanB ‎∴tan（A＋B）＝1‎ 又0＜A＋B＜π ∴A＋B＝ ‎ ‎(再证必要性)‎ 由 整理得（1＋tanA）（1＋tanB）＝2‎ 说明：可类似地证明以下命题：‎ ‎(1)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；‎ ‎(2)若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；‎ ‎(3)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2‎ 三、课堂练习：‎ ‎1 已知求的值．‎ ‎ 分析：若用公式（）将已知等式展开，只能得到与的等量关系，要得到探求结论十分困难．我们来观察一下角的特征， ‎ ‎ ，‎ 于是就可以正确的解法．‎ ‎ 归纳：将角作适当的变换，配出有关角，便于沟通条件与结论之间的联系，这是三角恒等变换中常用的方法之一，这种变换角的方法通常叫配角法．例如配成又如配成－或者．‎ ‎ 2 已知求的值．‎ ‎ 3 不查表求值：．‎ ‎ 分析： 要善于把公式变形后使用，从公式 中可得变形公式：‎ ‎，这会使解题更具灵活性． ‎ ‎．‎ ‎∴原式＝１．‎ 四、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．‎ 五、课后作业：‎ ‎1 已知函数的图象与轴交点为、，‎ ‎ 求证：．‎ ‎ 证明:∵函数的图象与轴交点为、‎ ‎∴+= =－1‎ ‎∴＝‎ ‎∴．‎ ‎ 2 求证：‎ ‎　　　证明:∵‎ ‎　　　　　　　‎ ‎∴‎ ‎ 3 求证：‎ 证明:∵‎ ‎　　　　　　　‎ ‎∴‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎1求值：（1）‎ 选题意图：考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力 解：(1)原式 ‎ ‎ ‎（2）原式 说明：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数，要注意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等 ‎2已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，求tan（α＋β） 选题意图：考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力 解：由3sinβ＝sin（2α＋β）即3sin［（α＋β）－α］＝［sin(α＋β)＋α］‎ 得：3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα ‎＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα ‎∴2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα ‎∴tan（α＋β）＝2tanα 又tanα＝1 ∴tan（α＋β）＝2‎ 说明：本题解法的关键是要注意到β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α ‎3已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β ‎∈‎ ‎（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值 选题意图：考查两角和三角函数公式和平方关系的应用 解：根据韦达定理 说明：解题的整个过程就是统一角，统一函数的过程 ‎ ‎4求sin18°和cos36°的值 解：∵sin36°＝cos54°‎ 即sin（2×18°）＝cos（3×18°）‎ ‎2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°‎ ‎∵cos18°≠0‎ ‎∴2sin18°＝4cos218°－3‎ 整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0‎ 说明：本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解，但利用sin54°＝cos36°很难解出sin18°在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用 ‎ ‎