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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）‎ 1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( )‎ ‎ （A）等于lg2 （B）等于1‎ ‎ (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 ‎ 2.若非空集合A={x|‎2a+1≤x≤‎3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使AÍA∩B成立的所有a的集合是( )‎ ‎ （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}‎ ‎ (C) {a | a≤9} (D) Ø ‎ 3.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( )‎ ‎ (A) 150 (B) - 200 ‎ ‎ (C) 150或 - 200 (D) - 50或400‎ ‎ 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同；‎ ‎ 命题Q：==． 则命题Q( )‎ ‎ (A) 是命题P的充分必要条件 ‎ (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 ‎ (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 ‎ (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 ‎5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是( )‎ ‎ (A) arcsin (B) +arccos (C) －arctan (D) π－arccot ‎ ‎6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )‎ ‎ (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37‎ 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.‎ ‎1．若f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 ．‎ ‎ 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________.‎ ‎3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.‎ ‎4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.‎ ‎ 5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎ 6．DABC中, ÐC = 90o, ÐB = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥A-BCM的体积等于__________.‎ 三、（本题满分20分）‎ 已知复数z=1－sinθ+icosθ(<θ<π)，求z的共轭复数的辐角主值．‎ ‎ 四、（本题满分20分）‎ ‎ 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| £ 5都成立．‎ ‎ 问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.‎ 五、（本题满分20分）‎ 已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ¹ 0, b 2 ¹ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．‎ ‎ 求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M‎1 ¹ ‎M2)，直线M‎1M2‎恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一 参考答案 一．选择题（本题满分36分，每小题6分）‎ ‎1．若a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 则lg (a –1) + lg (b –1) 的值( )‎ ‎ （A）等于lg2 （B）等于1‎ ‎ (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 ‎ 解：a+b=ab，(a－1)(b－1)=1，由a－1>0，b－1>0，故lg(a－1)(b－1)=0，选C．‎ ‎2．若非空集合A={x|‎2a+1≤x≤‎3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使AÍA∩B成立的所有a的集合是( )‎ ‎ （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}‎ ‎ (C) {a | a≤9} (D) Ø ‎ 解：AÍB，A≠Ø．Þ 3≤‎2a+1≤‎3a－5≤22，Þ6≤a≤9．故选B．‎ ‎3．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( )‎ ‎ (A) 150 (B) -200‎ ‎ (C) 150或 -200 (D) -50或400‎ 解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．Þq10=2．(－3舍)‎ ‎∴ S40=10(q40－1)=150．选A．‎ ‎ 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同;‎ ‎ 命题Q：==． 则命题Q( )‎ ‎ (A) 是命题P的充分必要条件 ‎ (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 ‎ (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 ‎ (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 ‎ 解：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为－1，否定A、B，选D．‎ ‎5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是( )‎ ‎ (A) arcsin (B) +arccos (C) －arctan (D) π－arccot ‎ 解：取AD、BD中点H、M，则EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．设CM∩FG=P，AM∩EH=Q，则P、Q分别为CM、AM中点，PQ∥AC．‎ ‎∵ AC⊥BD，ÞPQ⊥FG，CP⊥FG，Þ∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角．‎ 设AC=2，则MC=MA=，cos∠ACM==．‎ ‎∴ 选D．‎ ‎6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )‎ ‎ (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37‎ 解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．‎ ‎⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组；‎ ‎⑵ 面中心为中点：4×6=24组；‎ ‎⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B．‎ 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.‎ ‎1．若f (x) (xÎR)是以2为周期的偶函数, 当xÎ[ 0, 1 ]时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 ．‎ 解：f()=f(6－)=f()．f()=f(6－)=f()，f()=f(6+)=f()．‎ 现f(x)是[0，1]上的增函数．而<<．故f()2，4a－1<0．Þ－1