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- 2021-06-30 发布
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第
7
节 函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象及应用
考试要求
1.
了解函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的物理意义;能画出
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象,了解参数
A
,
ω
,
φ
对函数图象变化的影响;
2.
会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
.
知
识
梳
理
1
.
“
五点法
”
作函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0)
的简图
“
五点法
”
作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与
x
轴相交的三个点,作图时的一般步骤为:
(1)
定点:如下表所示
.
x
ωx
+
φ
——
——
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
0
A
0
-
A
0
0
π
2π
(2)
作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
在一个周期内的图象
.
(3)
扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
在
R
上的图象
.
2
.
函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
中各量的物理意义
当函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>
0
,
ω
>
0)
,
x
∈
[0
,+
∞
)
表示简谐振动时,几个相关的概念如下表:
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>
0
,
ω
>
0)
,
x
∈
[0
,+
∞
)
A
T
=
——
f
=
———
——
ωx
+
φ
φ
3.
函数
y
=
sin
x
的图象经变换得到
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象的两种途径
|
φ
|
[
常用结论与易错提醒
]
1.
由函数
y
=
sin
x
的图象经过变换得到
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象,如先伸缩再平移时,要把
x
前面的系数提取出来
.
2.
复合形式的三角函数的单调区间的求法
.
函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0)
的单调区间的确定,基本思想是把
ωx
+
φ
看作一个整体
.
若
ω
<0
,要先根据诱导公式进行转化
.
3.
求函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
在
x
∈
[
m
,
n
]
上的最值,可先求
t
=
ωx
+
φ
的范围,再结合图象得出
y
=
A
sin
t
的值域
.
诊
断
自
测
答案
(1)
×
(2)
×
(3)
√
(4)
√
答案
A
答案
C
答案
C
5.
(2016·
浙江卷
)
设函数
f
(
x
)
=
sin
2
x
+
b
sin
x
+
c
,则
f
(
x
)
的最小正周期
(
)
A.
与
b
有关,且与
c
有关
B.
与
b
有关,但与
c
无关
C.
与
b
无关,且与
c
无关
D.
与
b
无关,但与
c
有关
答案
B
考点一 函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象及变换
列表,并描点画出图象:
(1)
求
ω
和
φ
的值;
(2)
在给定坐标系中作出函数
f
(
x
)
在
[0
,
π]
上的图象
.
描点画出图象
(
如图
).
考点二 由图象求函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的解析式
(2)
(
一题多解
)
函数
f
(
x
)
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>
0
,
ω
>
0
,
|
φ
|
<
π)
的部分图象如图所示,则函数
f
(
x
)
的解析式为
________.
【训练
2
】
(1)
已知
f
(
x
)
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0
,
0<
φ
<π)
,函数
f
(
x
)
的图象如图所示,则
f
(2 016π)
的值为
(
)
(2)
(2020·
镇海中学模拟
)
函数
f
(
x
)
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0
,-
π<
φ
<0)
的部分图象如图所示,则
φ
=
________
,为了得到
g
(
x
)
=
A
cos
ωx
的图象,需将函数
y
=
f
(
x
)
的图象最少向左平移
________
个单位长度
.
考点三
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
图象与性质的综合应用
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