高考数学复习 17-18版 第7章 第34课 等差数列及其前n项和 15页

第34课 等差数列及其前n项和 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 等差数列 ‎√‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an ＋an＋2.(　　)‎ ‎(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d＝____________.‎ ‎－2　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2.]‎ ‎3．(2017·南京模拟)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎8　[由等差数列的性质可知，‎ a7＋a8＋a9＝‎3a8，a7＋a10＝a8＋a9，‎ 故a8>0，a8＋a9<0，‎ ‎∴a9<0，即当n＝8时，{an}的前n项和最大．]‎ ‎4．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎20　[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝‎5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ 法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.‎ 所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.‎ 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]‎ ‎5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．‎ ‎16　[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，‎ 则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.‎ 由an＝6n≤100，即n≤16＝16，‎ 则在100以内有16个能被6整除的数．]‎ 等差数列的基本运算 ‎　(1)(2017·苏州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝____________. 【导学号：62172185】‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝____________.‎ ‎(1)　(2)10　[(1)∵公差为1，‎ ‎∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得 ‎∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]‎ ‎[规律方法]　1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是____________．‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.‎ ‎(1)2　(2)－72　[(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，‎ 得－＝1，即a3－a2＝2，‎ ‎∴数列{an}的公差为2.‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]‎ 等差数列的判定与证明 ‎　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的通项公式an. 【导学号：62172186】‎ ‎[解]　(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)，‎ bn＝.‎ 所以n≥2时，bn－bn－1＝－ ‎＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，bn＝n－，‎ 则an＝1＋＝1＋.‎ ‎[规律方法]‎ ‎　1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于客观题中的简单判断．‎ ‎2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥‎2”‎，否则n＝1时，an无意义．‎ ‎[变式训练2]　(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋‎2a2n}是____________．(填序号)‎ ‎①公差为3的等差数列；‎ ‎②公差为4的等差数列；‎ ‎③公差为6的等差数列；‎ ‎④公差为9的等差数列．‎ ‎③　[∵a2n－1＋‎2a2n－(a2n－3＋‎2a2n－2)‎ ‎＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)‎ ‎＝2＋2×2＝6，‎ ‎∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．]‎ ‎(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则该数列的通项为____________．‎ an＝　[由已知＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]‎ 等差数列的性质与最值 ‎　(1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝____________.‎ ‎(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．‎ ‎(1)7　[法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝‎3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝‎3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝‎3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝‎3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝‎3a42＋‎3a52＋‎3a62＝3×‎3a52＝63，所以a52＝7.‎ 法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7.]‎ ‎(2)法一：由S3＝S11，可得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，‎ 即d＝－a1.‎ 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，‎ 因为a1>0，所以－<0.‎ 故当n＝7时，Sn最大．‎ 法二：由法一可知，d＝－a1.‎ 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．‎ 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，‎ 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，‎ 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，‎ 所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．‎ ‎[规律方法]　1.等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎[变式训练3]　(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝____________.‎ ‎99　[因为a3＋a9＝27－a6,‎2a6＝a3＋a9，所以‎3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝‎11a6＝99.]‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝____________.‎ ‎60　[因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.‎ ‎(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….‎ ‎(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….‎ ‎2．等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．‎ ‎3．等差数列的四种判断方法：‎ ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．‎ ‎3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．‎ 课时分层训练(三十四)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝____________.‎ ‎5　[法一：由题意得解得 ‎∴a4＝a1＋3d＝5.‎ 法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5.]‎ ‎2．已知数列{an}是等差数列，且a7－‎2a4＝6，a3＝2，则公差d＝____________. ‎ ‎【导学号：62172187】‎ ‎4　[法一：由题意得a3＝2，a7－‎2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4.‎ 法二：由题意得解得]‎ ‎3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为____________．‎ ‎8　[设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d＝a3－a1＝4，得d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)－1＋2(k＋1)－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.]‎ ‎4．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为________．‎ ‎23　[∵3an＋1＝3an－2，‎ ‎∴an＋1－an＝－，‎ ‎∴an＝15＋－(n－1)＝－n＋.‎ 由an＝－n＋>0得n<23.5，‎ ‎∴使ak·ak＋1<0的k值为23.]‎ ‎5．(2017·苏州期中)等差数列{an}中，前n项和为Sn，若S4＝‎8a1，a4＝4＋a2，则S10＝____________.‎ ‎120　[∵{an}为等差数列，∴2d＝a4－a2＝4，d＝2.‎ 由S4＝8a1得4a1＋×2＝8a1，即a1＝3.‎ ‎∴S10＝10×3＋×2＝120.]‎ ‎6．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝____________.‎ ‎98　[法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.‎ 又∵a10＝8，∴∴ ‎∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.‎ 法二：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.‎ 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.‎ 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.‎ ‎]‎ ‎7．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N＋)，则a10＝____________.‎ ‎ 【导学号：62172188】‎ 　[由＝＋得为首项为1，公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)×＝，‎ ‎∴a10＝＝.]‎ ‎8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝____________.‎ ‎130　[由an＝2n－10(n∈N＋)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.]‎ ‎9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝____________.‎ ‎5　[∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列也为等差数列．‎ ‎∴＋＝，‎ 即＋＝0，‎ 解得m＝5，经检验为原方程的解．]‎ ‎10．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝____________.‎ ‎3　[设{bn}的公差为d，‎ ‎∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.‎ ‎∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.‎ ‎∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ‎＝7×(－6)＋21×2＝0.‎ 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，‎ ‎∴a8＝3.]‎ 二、解答题 ‎11．已知等差数列的前三项依次为a,4,‎3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. 【导学号：62172189】‎ ‎[解]　(1)设该等差数列为{an}，‎ 则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，‎ 故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ ‎12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)求Sn的最小值；‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.‎ ‎[解]　(1)因为数列{an}为等差数列，‎ 所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.‎ 又a3·a4＝117，‎ 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d>0，所以a3