高科数学专题复习课件：7_4　基本不等式及其应用 77页

§7.4 　基本不等式及其应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 基本不等式成立的条件 ： . (2) 等号成立的条件： 当且仅当 时 取等号 . 知识梳理 a >0 ， b >0 a ＝ b 2. 几个重要的不等式 (1) a 2 ＋ b 2 ≥ ( a ， b ∈ R ). 2 ab 2 (3) ab ≤ ( a ， b ∈ R ). 以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b . 设 a >0 ， b >0 ，则 a ， b 的算术平均数 为 ， 几何平均数 为 ， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 3. 算术平均数与几何平均数 4. 利用基本不等式求最值问题 已知 x >0 ， y >0 ，则 (1) 如果积 xy 是定值 p ，那么 当且仅当 时 ， x ＋ y 有 最 值 .( 简记：积定和最小 ) x ＝ y 小 (2) 如果和 x ＋ y 是定值 p ，那么 当且仅当 时 ， xy 有 最 值 .( 简记：和定积最大 ) x ＝ y 大 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1) 恒成立问题：若 f ( x ) 在区间 D 上存在最小值，则不等式 f ( x )> A 在区间 D 上恒成立 ⇔ ；若 f ( x ) 在区间 D 上存在最大值，则不等式 f ( x )< B 在区间 D 上恒成立 ⇔ . (2) 能成立问题：若 f ( x ) 在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x )> A 成立 ⇔ ；若 f ( x ) 在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x )< B 成立 ⇔ . 知识 拓展 f ( x ) min > A ( x ∈ D ) f ( x ) max < B ( x ∈ D ) f ( x ) max > A ( x ∈ D ) f ( x ) min < B ( x ∈ D ) (3) 恰成立问题：不等式 f ( x )> A 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )> A 的解集为 D ；不等式 f ( x )< B 恰在区间 D 上成立 ⇔ f ( x )< B 的解集为 D . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 × × × × × √ 1.( 教材改编 ) 设 x >0 ， y >0 ，且 x ＋ y ＝ 18 ，则 xy 的最大值 为 A.80 B.77 C.81 D.82 考点自测 答案 解析 ∵ x >0 ， y >0 ， 当且仅当 x ＝ y ＝ 9 时， ( xy ) max ＝ 81. 2. 已知 f ( x ) ＝ x ＋ － 2( x <0) ，则 f ( x ) 有 A . 最大值为 0 B . 最小值为 0 C. 最大值为－ 4 D . 最小值为－ 4 答案 解析 当且仅当 x ＝－ 1 时， f ( x ) max ＝－ 4. 3. 若 a >0 ， b >0 ，且 a ＋ b ＝ 4 ，则下列不等式恒成立的 是 答案 解析 a 2 ＋ b 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 2 ab ＝ 16 － 2 ab ≥ 8 ，选项 D 成立 . 4.( 教材改编 ) 已知 x ， y 均为正实数，且 x ＋ 4 y ＝ 1 ，则 xy 的最大值 为 ____. 答案 解析 5.( 教材改编 ) 若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 ________ m 2 . 答案 解析 25 设矩形的一边为 x m ， 则另一边 为 × ( 20 － 2 x ) ＝ (10 － x )m ， 当且仅当 x ＝ 10 － x ，即 x ＝ 5 时， y max ＝ 25. 题型分类　深度剖析 题型一　利用基本不等式求最值 命题点 1 　通过配凑法利用基本不等式 答案 解析 当且仅当 3 x ＝ 4 － 3 x ，即 x ＝ 时 ，取等号 . 1 答案 解析 因为 x < ， 所以 5 － 4 x >0 ， 答案 解析 例 2 　 已知 a >0 ， b >0 ， a ＋ b ＝ 1 ， 则 的 最小值为 ___. 命题点 2 　通过常数代换法利用基本不等式 答案 解析 4 ∵ a >0 ， b >0 ， a ＋ b ＝ 1 ， 引申 探究 解答 当且仅当 a ＝ b ＝ 时 ，取等号 . 解答 解答 ∵ a ＋ 2 b ＝ 3 ， 思维 升华 (1) 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”. 所谓 “ 一正 ” 是指正数， “ 二定 ” 是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “ 三相等 ” 是指满足等号成立的条件 . (2) 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 . (3) 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数 “ 1 ” 代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值 . 跟踪训练 1 　 (1) 若正数 x ， y 满足 x ＋ 3 y ＝ 5 xy ，则 3 x ＋ 4 y 的最小值是 ________. 答案 解析 5 ∴ 3 x ＋ 4 y 的最小值是 5. 当且仅当 y ＝ 时 等号成立， ∴ (3 x ＋ 4 y ) min ＝ 5. (2) 已知 x ， y ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 2 x － 3 ＝ ( ) y ， 若 ( m >0) 的最小值为 3 ，则 m ＝ ____. 答案 解析 4 由 2 x － 3 ＝ ( ) y 得 x ＋ y ＝ 3 ， 解得 m ＝ 4. 题型二　基本不等式的实际应用 例 3 　 ( 2017· 淄博 质检 ) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C ( x ) ，当年产量不足 80 千件时， C ( x ) ＝ x 2 ＋ 10 x ( 万元 ). 当年产量不小于 80 千件时， C ( x ) ＝ 51 x ＋ － 1 450( 万元 ). 每件商品售价为 0.05 万元 . 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 . (1) 写出年利润 L ( x )( 万元 ) 关于年产量 x ( 千件 ) 的函数解析式； 解答 因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.05 × 1 000 x 万元，依题意得：当 0< x <80 时， L ( x ) ＝ 1 000 x × 0.05 － ( x 2 ＋ 10 x ) － 250 ＝－ x 2 ＋ 40 x － 250 ； 当 x ≥ 80 时， L ( x ) ＝ 1 000 x × 0.05 － (51 x ＋ － 1 450) － 250 ＝ 1 200 － ( x ＋ ). (2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 当 0< x <80 时， L ( x ) ＝－ ( x － 60) 2 ＋ 950. 对称轴为 x ＝ 60 ， 即当 x ＝ 60 时， L ( x ) 最大 ＝ 950( 万元 ) ； 当且仅当 x ＝ 100 时， L ( x ) 最大 ＝ 1 000( 万元 ) ， 综上所述， 当 年产量为 100 千件 时 ，年 获 利润 最大 . 解答 思维 升华 (1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 . (2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 . (3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 ( 使实际问题有意义的自变量的取值范围 ) 内求解 . 跟踪 训练 2 　 ( 1) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元 . 若每批生产 x 件，则平均仓储时间 为 天 ，且每件产品每天的仓储费用为 1 元 . 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 _______ 件 . 答案 解析 80 设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得 (2) 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y ( 单位：万元 ) 与机器运转时间 x ( 单位：年 ) 的关系为 y ＝－ x 2 ＋ 18 x － 25( x ∈ N * ) ， 则 每台机器为 该公司 创造的 年平均 利润的最大值是 ___ 万 元 . 8 答案 解析 当且仅当 x ＝ ， 即 x ＝ 5 时，取等号 . 题型三　基本不等式的综合应用 命题点 1 　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 4 　 (1)(2016· 菏泽一模 ) 已知直线 ax ＋ by ＋ c － 1 ＝ 0( b ， c >0) 经过圆 x 2 ＋ y 2 － 2 y － 5 ＝ 0 的圆心， 则 的 最小值 是 A.9 B.8 C.4 D.2 答案 解析 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 y － 5 ＝ 0 化成标准方程 ， 得 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 6 ，所以 圆心为 C (0,1). 因为直线 ax ＋ by ＋ c － 1 ＝ 0 经过圆心 C ， 所以 a × 0 ＋ b × 1 ＋ c － 1 ＝ 0 ，即 b ＋ c ＝ 1. 因为 b ， c >0 ， (2)(2016· 山西忻州一中等第一次联考 ) 设等差数列 { a n } 的公差是 d ，其 前 n 项和是 S n ，若 a 1 ＝ d ＝ 1 ， 则 的 最小值是 ________. 答案 解析 当且仅当 n ＝ 4 时取等号 . 命题点 2 　求参数值或取值范围 答案 解析 ∴ m ≤ 12 ， ∴ m 的最大值为 12. 答案 解析 设 g ( x ) ＝ x ＋ ， x ∈ N * ，则 g (2) ＝ 6 ， g (3) ＝ . 对任意 x ∈ N * ， f ( x ) ≥ 3 恒成立， 即 ≥ 3 恒成立 ， 即 知 a ≥ － ( x ＋ ) ＋ 3. 思维 升华 (1) 应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式 ( 或式子 ) 变形，然后利用基本不等式求解 . (2) 条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 . (3) 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 . 跟踪训练 3 　 (1)(2016· 福建四地六校联考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x ＋ ＋ 2 的值域为 ( － ∞ ， 0] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ，则 a 的值 是 答案 解析 由题意可得 a >0 ， 几何画板展示 答案 解析 由各项均为正数的等比数列 { a n } 满足 a 7 ＝ a 6 ＋ 2 a 5 ，可得 a 1 q 6 ＝ a 1 q 5 ＋ 2 a 1 q 4 ， 所以 q 2 － q － 2 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 1( 舍去 ). 因为 ＝ 4 a 1 ，所以 q m ＋ n － 2 ＝ 16 ， 所以 2 m ＋ n － 2 ＝ 2 4 ，所以 m ＋ n ＝ 6. 又 m ＋ n ＝ 6 ，解得 m ＝ 2 ， n ＝ 4 ，符合题意 . 利用 基本不等式求最值 现场纠错系列 9 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件 . 错 解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解析 　 (1) ∵ x >0 ， y >0 ， 返回 课时作业 1. 已知 a ， b ∈ R ，且 ab ≠ 0 ，则下列结论恒成立的 是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 2. 下列不等式一定成立的 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 运用基本不等式时需保证 “ 一正 ”“ 二定 “ 三相等 ” ，而当 x ≠ k π ， k ∈ Z 时， sin x 的正负不定 ，故 选项 B 不正确 ； 由基本不等式可知，选项 C 正确 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A. 最小值 1 B . 最大值 1 C. 最小值 2 D . 最大值 2 √ 答案 解析 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2016· 平顶山至阳中学期中 ) 若函数 f ( x ) ＝ x ＋ ( x >2) 在 x ＝ a 处取最小值，则 a 等于 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知 x >0 ， y >0 ，且 4 xy － x － 2 y ＝ 4 ，则 xy 的最小值 为 √ 答案 解析 答案 解析 A.1 B.6 C.9 D.16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2016· 唐山一模 ) 已知 x ， y ∈ R 且满足 x 2 ＋ 2 xy ＋ 4 y 2 ＝ 6 ，则 z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 的取值范围为 ________. 答案 解析 [4,12] ∴ x 2 ＋ 4 y 2 ≥ 4( 当且仅当 x ＝ 2 y 时取等号 ). 又 ∵ ( x ＋ 2 y ) 2 ＝ 6 ＋ 2 xy ≥ 0 ， 即 2 xy ≥ － 6 ， ∴ z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 6 － 2 xy ≤ 12 ( 当且仅当 x ＝－ 2 y 时取等号 ). 综上可知 4 ≤ x 2 ＋ 4 y 2 ≤ 12. 9.(2016· 潍坊模拟 ) 已知 a ， b 为正实数，直线 x ＋ y ＋ a ＝ 0 与圆 ( x － b ) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 相切， 则 的 取值范围是 _______ _ _. 答案 解析 (0 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ x ＋ y ＋ a ＝ 0 与圆 ( x － b ) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 相切， ∴ a ＋ b ＋ 1 ＝ 2 ，即 a ＋ b ＝ 1 ， 又 ∵ a ， b 为正实数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 答案 解析 由题意知 3 a ·3 b ＝ 3 ，即 3 a ＋ b ＝ 3 ， ∴ a ＋ b ＝ 1 ， ∵ a >0 ， b >0 ， *11.( 2017· 东莞 调研 ) 函数 y ＝ log a ( x ＋ 3) － 1( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ ny ＋ 1 ＝ 0 上，其中 m ， n 均大于 0 ， 则 的 最小值为 _____. 答案 解析 8 y ＝ log a ( x ＋ 3) － 1 恒过定点 A ( － 2 ，－ 1) ， 由 A 在直线 mx ＋ ny ＋ 1 ＝ 0 上 . 则－ 2 m － n ＋ 1 ＝ 0 ，即 2 m ＋ n ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知 x >0 ， y >0 ，且 2 x ＋ 5 y ＝ 20. (1) 求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ x >0 ， y >0 ， ∴ 由基本不等式，得 2 x ＋ 5 y ≥ 2 . ∵ 2 x ＋ 5 y ＝ 20 ， ∴ 2 ≤ 20 ， xy ≤ 10 ， 当且仅当 2 x ＝ 5 y 时，等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时 xy 有最大值 10. ∴ u ＝ lg x ＋ lg y ＝ lg( xy ) ≤ lg 10 ＝ 1. ∴ 当 x ＝ 5 ， y ＝ 2 时， u ＝ lg x ＋ lg y 有最大值 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ x >0 ， y >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内 ( 以 30 天计 ) ，第 t 天 (1 ≤ t ≤ 30 ， t ∈ N * ) 的旅游人数 f ( t )( 万人 ) 近似地满足 f ( t ) ＝ 4 ＋ ， 而人均消费 g ( t )( 元 ) 近似地满足 g ( t ) ＝ 120 － | t － 20|. (1) 求该城市的旅游日收益 W ( t )( 万元 ) 与时间 t (1 ≤ t ≤ 30 ， t ∈ N * ) 的函数关系式； 解答 W ( t ) ＝ f ( t ) g ( t ) ＝ (4 ＋ )( 120 － | t － 20|) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 求该城市旅游日收益的最小值 . 解答 14. 如图所示，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 km ，某炮位于坐标原点 . 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ＝ kx － ( 1 ＋ k 2 ) x 2 ( k >0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关 . 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 . (1) 求炮的最大射程 ； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令 y ＝ 0 ，得 kx － ( 1 ＋ k 2 ) x 2 ＝ 0. 由实际意义和题设条件知 x >0 ， k >0 ， 当且仅当 k ＝ 1 时取等号 . 所以炮的最大射程为 10 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 km ，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 . 解答 因为 a >0 ，所以炮弹可击中目标 ⇔ 存在 k >0 ，使 3.2 ＝ ka － ( 1 ＋ k 2 ) a 2 成立 ⇔ 关于 k 的方程 a 2 k 2 － 20 ak ＋ a 2 ＋ 64 ＝ 0 有正根 ⇔ Δ ＝ ( － 20 a ) 2 － 4 a 2 ( a 2 ＋ 64) ≥ 0 ⇔ 0< a ≤ 6. 所以当 a 不超过 6 km 时，可击中目标 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14