高科数学专题复习课件：第十二章 12_3几何概型 63页

§ 12.3 　 几何概型 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 几何概型 知识梳理 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的 ( 或 ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称 为 . 2. 几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 长度 面积 体积 几何概型 3. 几何概型试验的两个基本特点 (1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果 有 ； (2) 等可能性：每个结果的发生 具有 . 无限多个 等可能性 (1) 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 . (2) 用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法 . 这个方法的基本步骤是 ① 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； ② 统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N ； ③ 计算频率 f n ( A ) ＝ 作为 所求概率的近似值 . 4. 随机模拟方法 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 .( 　　 ) (2) 几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 .( 　　 ) (3) 在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 .( 　　 ) 思考辨析 √ √ √ (4) 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 .( 　　 ) (5) 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 .( 　　 ) (6) 从区间 [ 1,10 ] 内任取一个数，取到 1 的概率是 P ＝ .( 　　 ) √ × × 考点自测 1.( 教材改编 ) 在线段 [ 0,3 ] 上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率 为 答案 解析 坐标小于 1 的区间为 [ 0,1 ] ， 长度为 1 ， [ 0,3 ] 区间长度为 3 ， 答案 解析 ∴ 由几何概型的概率计算公式得所求概率 3.( 教材改编 ) 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘 是 答案 解析 ∴ P ( A )> P ( C ) ＝ P ( D )> P ( B ). 4.( 2017· 南昌 月考 ) 一个边长为 3 cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为 2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于 2 cm 的区域内的概率等于 ________. 答案 解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心， 2 cm 为半径作圆， 与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于 2 cm ， 5 . 若 将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ________. 答案 解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A ， 题型分类　深度剖析 题型一　与长度、角度有关的几何概型 例 1 　 (1)(2016· 全国甲卷 ) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 . 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率 为 答案 解析 答案 解析 ( 3) 如图所示，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 60° ， ∠ C ＝ 45° ，高 AD ＝ ， 在 ∠ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ，求 BM <1 的概率 . 解答 因为 ∠ B ＝ 60° ， ∠ C ＝ 45° ，所以 ∠ BAC ＝ 75°. 记事件 N 为 “ 在 ∠ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ，使 BM <1 ” ，则可得 ∠ BAM < ∠ BAD 时事件 N 发生 . 引申 探究 解答 2. 本例 (3) 中，若将 “ 在 ∠ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ” 改为 “ 在线段 BC 上找一点 M ” ，求 BM <1 的概率 . 解答 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 ( 角度 ) ，然后求解 . 要特别注意 “ 长度型 ” 与 “ 角度型 ” 的不同 . 解题的关键是构建事件的区域 ( 长度或角度 ). 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1)(2016· 全国乙卷 ) 某公司的班车在 7 ： 00 ， 8 ： 00,8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率 是 答案 解析 如图所示，画出时间轴 . 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中 ， 而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟， 故 A ∩ B ＝ { x |2< x <3}. 由几何概型知，在集合 A 中任取一个元素 x ， 答案 解析 命题点 1 　与平面图形面积有关的问题 例 2 　 (2016· 全国甲卷 ) 从区间 [ 0,1 ] 随机抽取 2 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值 为 答案 解析 题型二　与面积有关的几何概型 由题意得 ( x i ， y i )( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 在如图所示方格中 ， 而 平方和小于 1 的点均在如图所示的阴影中， 命题点 2 　与线性规划知识交汇命题的问题 例 3 　 答案 解析 如图，平面区域 Ω 1 就是三角形区域 OAB ，平面区域 Ω 2 与平面区域 Ω 1 的重叠部分就是区域 OACD ， 命题点 3 　与定积分交汇命题的 问题 例 4 　 ( 2015· 福建 ) 如图，点 A 的坐标为 (1,0) ，点 C 的坐标为 (2,4) ，函数 f ( x ) ＝ x 2 . 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ________. 　 答案 解析 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 昌平模拟 ) 设不等式 组 表示 的平面区域为 D . 在区域 D 内随机取一个点，则此点到直线 y ＋ 2 ＝ 0 的距离大于 2 的概率 是 答案 解析 作出平面区域 D ，可知平面区域 D 是以 A (4,3) ， B (4 ，－ 2) ， C ( － 6 ，－ 2) 为顶点的三角形区域 . 当点在 △ AEF 区域内时 ， 点 到直线 y ＋ 2 ＝ 0 的距离大于 2. (2) 如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数 ) 的正方形中随机撒一粒黄豆 ，则 它落到阴影部分的概率 为 ________. 答案 解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 题型三　与体积有关的几何概型 例 5 　 (1)(2016· 贵州黔东南州凯里一中期末 ) 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1 ，则称其为 “ 安全飞行 ” ，则蜜蜂 “ 安全飞行 ” 的概率 为 答案 解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为 1 的小正方体内 . (2) 已知正三棱锥 S — ABC 的底面边长为 4 ，高为 3 ，在正三棱锥内任取一点 P ，使得 V P — ABC < V S — ABC 的概率 是 当 P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求， 答案 解析 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 ( 总空间 ) 以及事件的体积 ( 事件空间 ) ，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2016· 哈尔滨模拟 ) 在体积为 V 的三棱锥 S － ABC 的棱 AB 上任取一点 P ，则三棱锥 S － APC 的体积 大于 的 概率是 ________. 答案 解析 如图，三棱锥 S － ABC 与三棱锥 S － APC 的高相同， 则事件 M 发生的区域是线段 P ′ B . 典例 　 (1) 在等腰 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ，在直角边 BC 上任取一点 M ，则 ∠ CAM <30° 的概率是 ________. (2) 在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离 小于 的概率为 几何 概型中的 “ 测度 ” 现场纠错系列 16 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能 . (2) 两个变量在某个范围内取值，对应的 “ 测度 ” 是面积 . 解析 　 (1) ∵∠ C ＝ 90° ， ∠ CAM ＝ 30° ， 答案　 返回 解析 　 (1) 因为点 M 在直角边 BC 上是等可能出现的， ( 2) 设任取两点所表示的数分别为 x ， y ， 则 0 ≤ x ≤ 1 ，且 0 ≤ y ≤ 1. 答案　 返回 课时作业 1.(2016· 佛山模拟 ) 如图，矩形长为 6 ，宽为 4 ，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 ，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约 为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故 S ＝ 16.32. A.16.32 B.15.32 C.8.68 D.7.68 √ 2.(2016· 昆明三中、玉溪一中统考 ) 已知 P 是 △ ABC 所在平面内 一 点， ，现 将一粒黄豆随机撒在 △ ABC 内，则黄豆落在 △ PBC 内的概率 是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以 PB 、 PC 为邻边作平行四边形 PBDC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 菏泽一模 ) 已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出 100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数 . 通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为 39 ，由此可 估计 的 值约 为 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 60° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 6 ，在 BC 上任取一点 D ，则使 △ ABD 为钝角三角形的概率 为 答案 解析 如图，当 BE ＝ 1 时， ∠ AEB 为直角， 则点 D 在线段 BE ( 不包含 B 、 E 点 ) 上时 ， △ ABD 为钝角三角形； 当 BF ＝ 4 时， ∠ BAF 为直角 ， 则 点 D 在线段 CF ( 不包含 C 、 F 点 ) 上时， △ ABD 为钝角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 5.(2017· 武昌 质检 ) 如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (0 ，－ 1) ， B (π ，－ 1) ， C (π ， 1) ， D (0 ， 1) ，正弦曲线 f ( x ) ＝ sin x 和余弦曲线 g ( x ) ＝ cos x 在矩形 ABCD 内交于点 F ，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率 是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 欧阳修的《卖油翁》中写到： “ ( 翁 ) 乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ” ，可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止 . 若铜钱是直径为 3 cm 的圆，中间有边长为 1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油 ( 油滴的直径忽略不计 ) ，则正好落入孔中的概率是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 有一个底面圆的半径为 1 、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，由题意知 ，在 矩形 ABCD 内任取一点 Q ( m ， n ) ， 点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率 ， 易 知直线 m ＝ n 恰好将矩形平分， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 随机地向半圆 0< y < ( a 为正常数 ) 内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角 小于 的 概率为 ______. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2017· 大连 月考 ) 正方形的四个顶点 A ( － 1 ，－ 1) ， B (1 ，－ 1) ， C (1 ， 1) ， D ( － 1,1) 分别在抛物线 y ＝－ x 2 和 y ＝ x 2 上，如图所示 . 若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 _____. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知向量 a ＝ ( － 2,1) ， b ＝ ( x ， y ). (1) 若 x ， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 ( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足 a · b ＝－ 1 的概率； 解答 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6 × 6 ＝ 36 ， 由 a · b ＝－ 1 得－ 2 x ＋ y ＝－ 1 ， 所以满足 a · b ＝－ 1 的基本事件为 (1,1) ， (2,3) ， (3,5) ，共 3 个， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 x ， y 在连续区间 [ 1,6 ] 上取值，求满足 a · b <0 的概率 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若 x ， y 在连续区间 [ 1,6 ] 上取值，则全部基本事件的结果为 Ω ＝ {( x ， y )|1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6} ， 满足 a · b <0 的基本事件的结果为 A ＝ {( x ， y )|1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6 且－ 2 x ＋ y <0}. 画出图形如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 要使 f ( x ) ＝ ax 2 － 4 bx ＋ 1 在区间 [1 ，＋ ∞ ) 上为增函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 . 如果甲船停泊时间为 1 h ，乙船停泊时间为 2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y ， 记事 件 A 为 “ 两船都不需要等待码头空出 ” ， 则 0 ≤ x ≤ 24,0 ≤ y ≤ 24 ， 要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上， 即 y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2. 故所求事件构成集合 A ＝ {( x ， y )| y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2 ， x ∈ [ 0,24 ] ， y ∈ [ 0,24 ] }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 为图中阴影部分 ， 全部 结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内部 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13