高科数学专题复习课件：第二章 2_8函数与方程 56页

§2.8 　 函数与方程 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 函数零点的定义 对于函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) ，把 使 的 实数 x 叫做函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) 的零点 . (2) 几个等价关系 方程 f ( x ) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象 与 有 交点 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 有 . (3) 函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 有 ， 那么，函数 y ＝ f ( x ) 在 区间 内 有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) ， 使得 ，这个 也就是 方程 f ( x ) ＝ 0 的根 . 1. 函数的零点 知识梳理 f ( x ) ＝ 0 x 轴 零点 f ( a )· f ( b )<0 ( a ， b ) f ( c ) ＝ 0 c 对于在区间 [ a ， b ] 上连续不断 且 的 函数 y ＝ f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的 区间 ， 使区间的两个端点逐步 逼近 ， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 . 2. 二分法 f ( a )· f ( b )<0 一分为二 零点 3. 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象与零点的关系   Δ >0 Δ ＝ 0 Δ <0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象 与 x 轴的交点 无交点 零点个数 ( x 1 ,0) ， ( x 2 ,0) ( x 1 ,0) 2 1 0 1. 有关函数零点的结论 (1) 若连续不断的函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数，则 f ( x ) 至多有一个零点 . (2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 . (3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 . 2. 三个等价关系 方程 f ( x ) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 有零点 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点 .( 　　 ) (2) 函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有零点 ( 函数图象连续不断 ) ，则 f ( a )· f ( b )<0.( 　　 ) (3) 只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 .( 　　 ) (4) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 在 b 2 － 4 ac <0 时没有零点 .( 　　 ) (5) 若函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调且 f ( a )· f ( b )<0 ，则函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有且只有一个零点 .( 　　 ) 思考辨析 × × × √ √ 1.( 教材改编 ) 函数 的 零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 考点自测 答案 解析 f ( x ) 是增函数，又 f (0) ＝－ 1 ， f (1) ＝ ， ∴ f (0) f (1)<0 ， ∴ f ( x ) 有且只有一个零点 . 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A. y ＝ cos x B. y ＝ sin x C. y ＝ ln x D. y ＝ x 2 ＋ 1 答案 解析 由于 y ＝ sin x 是奇函数； y ＝ ln x 是非奇非偶函数； y ＝ x 2 ＋ 1 是偶函数但没有零点； 只有 y ＝ cos x 是偶函数又有零点 . 3.(2016· 吉林长春检测 ) 函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ x － － 2 的零点所在的区间是 A .( ， 1) B.( 1,2) C .(2 ， e) D.(e,3) 答案 解析 所以 f (2) f (e)<0 ， 4. 函数 f ( x ) ＝ 2 x |log 0.5 x | － 1 的零点个数为 ________. 答案 解析 2 由图象知两函数图象有 2 个交点， 故函数 f ( x ) 有 2 个零点 . 5. 函数 f ( x ) ＝ ax ＋ 1 － 2 a 在区间 ( － 1,1) 上存在一个零点，则实数 a 的 取值 范围 是 ________. 答案 解析 ∵ 函数 f ( x ) 的图象为直线，由题意可得 f ( － 1) f (1)<0 ， 题型分类　深度剖析 题型一　函数零点的确定 命题点 1 　确定函数零点所在区间 例 1 　 (1)( 2017· 长沙调研 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x － 的 零点为 x 0 ，则 x 0 所在的区间是 A.(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 答案 解析 ∴ x 0 ∈ (2,3) ，故选 C. (2)(2016· 济南模拟 ) 设函数 y ＝ x 3 与 y ＝ ( ) x － 2 的图象的交点为 ( x 0 ， y 0 ) ，若 x 0 ∈ ( n ， n ＋ 1) ， n ∈ N ，则 x 0 所在的区间是 ________. 答案 解析 (1,2) 易知 f ( x ) 为增函数，且 f (1)<0 ， f (2)>0 ， ∴ x 0 所在的区间是 (1,2). 命题点 2 　函数零点个数的判断 答案 解析 例 2 　 (1) 函数 f ( x ) ＝ 的 零点个数是 ____. 2 当 x ≤ 0 时，令 x 2 － 2 ＝ 0 ，解得 x ＝ ( 正根舍去 ) ， 所以在 ( － ∞ ， 0] 上有一个零点； 当 x >0 时， f ′ ( x ) ＝ 2 ＋ > 0 恒成立， 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 又因为 f (2) ＝－ 2 ＋ ln 2<0 ， f (3) ＝ ln 3>0 ， 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上有一个零点， 综上，函数 f ( x ) 的零点个数为 2. (2) 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ x ，则函数 y ＝ f ( x ) － log 3 | x | 的零点个数是 A. 多于 4 B.4 C.3 D.2 答案 解析 由题意知， f ( x ) 是周期为 2 的偶函数 . 在同一坐标系内作出函数 y ＝ f ( x ) 及 y ＝ log 3 | x | 的图象 ， 如 图， 观察图象可以发现它们有 4 个交点， 即函数 y ＝ f ( x ) － log 3 | x | 有 4 个零点 . 思维 升华 (1) 确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法 . ( 2) 判断函数零点个数的方法： ① 解方程法； ② 零点存在性定理、结合函数的性质； ③ 数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数 . 跟踪训练 1 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ － log 2 x ，在下列区间中，包含 f ( x ) 零点的区间是 A.(0,1) B .( 1,2) C .(2,4) D .(4 ，＋ ∞ ) 答案 解析 因为 f (1) ＝ 6 － log 2 1 ＝ 6>0 ， f (2) ＝ 3 － log 2 2 ＝ 2>0 ， 所以函数 f ( x ) 的零点所在区间为 (2,4). (2) 函数 f ( x ) ＝ x cos x 2 在区间 [0,4] 上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 答案 解析 由 f ( x ) ＝ x cos x 2 ＝ 0 ，得 x ＝ 0 或 cos x 2 ＝ 0. 又 x ∈ [0,4] ，所以 x 2 ∈ [0,16]. 由于 cos ( ＋ k π) ＝ 0( k ∈ Z ) ， 而 在 ＋ k π( k ∈ Z ) 的所有取值中， 故零点个数为 1 ＋ 5 ＝ 6. 题型二　函数零点的应用 例 3 　 (1) 函数 f ( x ) ＝ 2 x － － a 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的取值范围是 A.(1,3) B .( 1,2) C .(0,3) D.(0,2) 答案 解析 因为函数 f ( x ) ＝ 2 x － － a 在区间 (1,2) 上单调递增， 又函数 f ( x ) ＝ 2 x － － a 的一个零点在区间 (1,2) 内，则有 f (1)· f (2)<0 ， 所以 ( － a )(4 － 1 － a )<0 ，即 a ( a － 3)<0. 所以 0 ＜ a ＜ 3. (2) 已知函数 f ( x ) ＝ | x 2 ＋ 3 x | ， x ∈ R ，若方程 f ( x ) － a | x － 1| ＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围是 ________________. 答案 解析 (0,1) ∪ (9 ，＋ ∞ ) 设 y 1 ＝ f ( x ) ＝ | x 2 ＋ 3 x | ， y 2 ＝ a | x － 1| ， 在同一直角坐标系中作出 y 1 ＝ | x 2 ＋ 3 x | ， y 2 ＝ a | x － 1| 的图象如图所示 . 由图可知 f ( x ) － a | x － 1| ＝ 0 有 4 个互异的实数根等价于 y 1 ＝ | x 2 ＋ 3 x | 与 y 2 ＝ a | x － 1| 的图象有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1 ， 消去 y 得 x 2 ＋ (3 － a ) x ＋ a ＝ 0 有两个不等实根， 所以 Δ ＝ (3 － a ) 2 － 4 a >0 ，即 a 2 － 10 a ＋ 9>0 ，解 得 a <1 或 a >9. 又由图象得 a >0 ， ∴ 0< a <1 或 a >9. 几何画板展示 引申 探究 本例 (2) 中，若 f ( x ) ＝ a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 作出 y 1 ＝ | x 2 ＋ 3 x | ， y 2 ＝ a 的图象 如 右 ： 当 x ＝ 0 或 x ＝－ 3 时， y 1 ＝ 0 ， 思维 升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1) 步骤： ① 判断函数的单调性； ② 利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式 ( 组 ) ； ③ 解不等式 ( 组 ) ，即得参数的取值范围 . (2) 方法：常利用数形结合法 . 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 枣庄模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ a ( a <0) 在区间 (0,1) 上有零点，则 a 的取值范围为 ________. 答案 解析 ( － 2,0) ∵ － a ＝ x 2 ＋ x 在 (0,1) 上有解， ∴ 函数 y ＝ x 2 ＋ x ， x ∈ (0,1) 的值域为 (0,2) ， ∴ 0< － a <2 ， ∴ － 2< a <0. (2)(2015· 湖南 ) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. 答案 解析 (0,2) 由 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b ＝ 0 ，得 |2 x － 2| ＝ b . 在同一平面直角坐标系中画出 y ＝ |2 x － 2| 与 y ＝ b 的图象，如图所示 . 则 当 0< b <2 时，两函数图象有两个交点 ， 从而 函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点 . 几何画板展示 题型三　二次函数的零点问题 例 4 　 已知 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( a 2 － 1) x ＋ ( a － 2) 的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围 . 解 答 方法一 　设方程 x 2 ＋ ( a 2 － 1) x ＋ ( a － 2) ＝ 0 的两根分别为 x 1 ， x 2 ( x 1 < x 2 ) ，则 ( x 1 － 1)( x 2 － 1)<0 ， ∴ x 1 x 2 － ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1<0 ， 由根与系数的关系，得 ( a － 2) ＋ ( a 2 － 1) ＋ 1<0 ， 即 a 2 ＋ a － 2<0 ， ∴ － 2< a <1. 方法二 　函数图象大致如图，则有 f (1)<0 ， 即 1 ＋ ( a 2 － 1) ＋ a － 2<0 ， ∴ － 2< a <1. 故实数 a 的取值范围是 ( － 2,1). 思维 升华 解决与二次函数有关的零点问题 ： ( 1 ) 利用 一元二次方程的求根公式 ； ( 2 ) 利 用 一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 ； ( 3) 利用二次函数的图象列不等式组 . 跟踪训练 3 　 (2016· 临沂一模 ) 若函数 f ( x ) ＝ ( m － 2) x 2 ＋ mx ＋ (2 m ＋ 1) 的 两 个 零点分别在区间 ( － 1,0) 和区间 (1,2) 内，则 m 的取值范围是 _______. 答案 解析 典例 　 (1) 若函数 f ( x ) ＝ a x － x － a ( a >0 且 a ≠ 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ________. (2) 若关于 x 的方程 2 2 x ＋ 2 x a ＋ a ＋ 1 ＝ 0 有实根，则实数 a 的取值范围为 ___________ ____ _. (1 ，＋ ∞ ) 利用 转化思想求解函数零点问题 思想与方法系列 4 答案 解析 思想方法指 导 (1) 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围 . (2) “ a ＝ f ( x ) 有解 ” 型问题，可以通过求函数 y ＝ f ( x ) 的值域解决 . 几何画板展示 (1) 函数 f ( x ) ＝ a x － x － a ( a >0 且 a ≠ 1) 有两个零点 ， 即 方程 a x － x － a ＝ 0 有两个根 ， 即 函数 y ＝ a x 与函数 y ＝ x ＋ a 的图象有两个交点 . 当 0< a <1 时，图象如图 ① 所示，此时只有一个交点 . 当 a >1 时，图象如图 ② 所示，此时有两个交点 . ∴ 实数 a 的取值范围为 (1 ，＋ ∞ ). 返回 课时作业 1. 设 f ( x ) ＝ ln x ＋ x － 2 ，则函数 f ( x ) 的零点所在的区间为 A.(0,1) B .( 1,2) C .(2,3) D .(3,4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ f (1) ＝ ln 1 ＋ 1 － 2 ＝－ 1<0 ， f (2) ＝ ln 2>0 ， ∴ f (1)· f (2)<0 ， ∵ 函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ x － 2 的图象是连续的， ∴ f ( x ) 的零点所在的区间是 (1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 潍坊模拟 ) 已知 函数 则 函数 f ( x ) 的零点为 √ 当 x ≤ 1 时，由 f ( x ) ＝ 2 x － 1 ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 ； 又因为 x >1 ，所以此时方程无解 . 综上，函数 f ( x ) 的零点只有 0 ，故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知三个函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ x ， g ( x ) ＝ x － 2 ， h ( x ) ＝ log 2 x ＋ x 的零点依次为 a ， b ， c ，则 A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < a < b √ 答案 解析 故 f ( x ) ＝ 2 x ＋ x 的零点 a ∈ ( － 1,0). ∵ g (2) ＝ 0 ， ∴ g ( x ) 的零点 b ＝ 2 ； 方法二 　由 f ( x ) ＝ 0 得 2 x ＝－ x ； 由 h ( x ) ＝ 0 得 log 2 x ＝－ x ，作出函数 y ＝ 2 x ， y ＝ log 2 x 和 y ＝－ x 的图象 ( 如图 ). 由图象易知 a <0,0< c <1 ，而 b ＝ 2 ，故 a < c < b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 方程 | x 2 － 2 x | ＝ a 2 ＋ 1( a >0) 的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 解析 ( 数形结合法 ) ∵ a >0 ， ∴ a 2 ＋ 1>1. 而 y ＝ | x 2 － 2 x | 的图象如图， ∴ y ＝ | x 2 － 2 x | 的图象与 y ＝ a 2 ＋ 1 的图象总有两个交点 . 5. 已知 函数 则 使方程 x ＋ f ( x ) ＝ m 有解的实数 m 的取值范围是 A.(1,2) B .( － ∞ ，－ 2] C.( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 当 x ≤ 0 时， x ＋ f ( x ) ＝ m ，即 x ＋ 1 ＝ m ，解得 m ≤ 1 ； 当 x >0 时， x ＋ f ( x ) ＝ m ，即 x ＋ ＝ m ，解得 m ≥ 2 ， 即实数 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ). 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知 x ∈ R ，符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，若函数 f ( x ) ＝ － a ( x ≠ 0 ) 有 且仅有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 ________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 的两个零点是－ 2 和 3 ，则不等式 af ( － 2 x )>0 的 解集是 ___________. 答案 解析 ∵ f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 的两个零点是－ 2,3. ∴ － 2,3 是方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 的两根， ∴ f ( x ) ＝ x 2 － x － 6. ∵ 不等式 af ( － 2 x )>0 ，即 － (4 x 2 ＋ 2 x － 6)>0 ⇔ 2 x 2 ＋ x － 3<0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知 函数 若 存在实数 b ，使函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － b 有两个零点，则 a 的取值范围是 _______________ ____ _. 答案 解析 ( － ∞ ， 0) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 令 φ ( x ) ＝ x 3 ( x ≤ a ) ， h ( x ) ＝ x 2 ( x > a ) ，函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － b 有两个零点， 即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ b 有两个交点， 结合图象 ( 图略 ) 可得 a <0 或 φ ( a )> h ( a ) ，即 a <0 或 a 3 > a 2 ， 解得 a <0 或 a >1 ，故 a ∈ ( － ∞ ， 0) ∪ (1 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为函数 f ( x ) 在 R 上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10.(2016· 衡水期中 ) 若 a >1 ，设函数 f ( x ) ＝ a x ＋ x － 4 的零点为 m ，函数 g ( x ) ＝ log a x ＋ x － 4 的零点为 n ， 则 的 最小值为 ______. 答案 解析 1 设 F ( x ) ＝ a x ， G ( x ) ＝ log a x ， h ( x ) ＝ 4 － x ， 则 h ( x ) 与 F ( x ) ， G ( x ) 的交点 A ， B 横坐标分别为 m ， n ( m >0 ， n >0). 因为 F ( x ) 与 G ( x ) 关于直线 y ＝ x 对称， 所以 A ， B 两点关于直线 y ＝ x 对称 . 又因为 y ＝ x 和 h ( x ) ＝ 4 － x 交点的横坐标为 2 ， 所以 m ＋ n ＝ 4 . 又 m >0 ， n >0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 作出函数 f ( x ) 的图象； 如图所示 . 故 f ( x ) 在 (0,1] 上是减函数，而在 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若方程 f ( x ) ＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围 . 解答 由函数 f ( x ) 的图象可知， 当 0< m <1 时，方程 f ( x ) ＝ m 有两个不相等的正根 . 12. 关于 x 的二次方程 x 2 ＋ ( m － 1) x ＋ 1 ＝ 0 在区间 [0,2] 上有解，求实数 m 的取值范围 . 解答 显然 x ＝ 0 不是方程 x 2 ＋ ( m － 1) x ＋ 1 ＝ 0 的解 ， 0< x ≤ 2 时，方程可变形为 1 － m ＝ x ＋ ， 又 ∵ y ＝ x ＋ 在 (0,1] 上单调递减 ， 在 [ 1,2] 上单调递增， ∴ y ＝ x ＋ 在 (0,2] 上的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ) ， ∴ 1 － m ≥ 2 ， ∴ m ≤ － 1 ， 故 m 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知二次函数 f ( x ) 的最小值为－ 4 ，关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3 ， x ∈ R }. (1) 求函数 f ( x ) 的解析式； 解 答 ∵ f ( x ) 是二次函数且关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3 ， x ∈ R } ， ∴ 设 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1)( x － 3) ＝ ax 2 － 2 ax － 3 a 且 a >0. 又 ∵ a >0 ， f ( x ) ＝ a [ ( x － 1) 2 － 4 ] ≥ － 4 ，且 f (1) ＝－ 4 a ， ∴ f ( x ) min ＝－ 4 a ＝－ 4 ， a ＝ 1. 故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x － 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 令 g ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 3. 当 x 变化时， g ′ ( x ) ， g ( x ) 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3 ，＋ ∞ ) g ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ g ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 0< x ≤ 3 时， g ( x ) ≤ g (1) ＝－ 4<0 ， g ( x ) 在 (3 ，＋ ∞ ) 上单调递增， g (3) ＝－ 4ln 3<0 ，取 x ＝ e 5 >3 ， 故函数 g ( x ) 只有 1 个零点且零点 x 0 ∈ (3 ， e 5 ).