2020年高中数学 第二章 解三角形 7页

‎2.2 三角形中的几何计算 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是(　　)‎ A．锐角三角形　　　　　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．与增加的长度有关 解析：选A.在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cos A′ ＝＝>0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.‎ ‎2．在△ABC中，A＝120°，a＝，S△ABC＝，则b等于(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或4 D．5‎ 解析：选C.S△ABC＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4，①‎ 又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝21，②‎ 解①②组成的方程组，可得b＝1或b＝4，选C.‎ ‎3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为(　　)‎ A．5　　　　 B．6　　　　　‎ C．7　　　　 D．8‎ 解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10，‎ 所以bc＝40.‎ a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.‎ 所以a＝7.即BC边长为7.‎ ‎4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ 解析：选B.因为S＝bcsin A，‎ 所以＝×2csin 120°，所以c＝2，‎ 所以a＝＝‎ ＝2，‎ 设△ABC外接圆的半径为R，‎ 7‎ 所以2R＝＝＝4，所以R＝2.‎ ‎5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c，a20，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.‎ ‎6．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得c2＋‎5c－24＝0，解得c＝3.‎ 所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.‎ 答案： ‎7．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．‎ 解析：由A作垂线AH⊥BC于H.‎ 因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°‎ ‎＝×2×DC× ‎＝3－.‎ 所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，‎ ‎∠ADH＝60°，‎ 所以DH＝ADcos 60°＝1，‎ 所以HC＝2(－1)－DH＝2－3.‎ 7‎ 又BD＝CD，‎ 所以BD＝－1，‎ 所以BH＝BD＋DH＝.‎ 又AH＝ADsin 60°＝，‎ 所以在Rt△ABH中AH＝BH，‎ 所以∠BAH＝45°.‎ 又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，‎ 所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，‎ 故所求角为60°.‎ 答案：60°‎ ‎8．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．‎ 解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，‎ ‎∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.‎ 根据余弦定理得，‎ AC＝ ‎＝ ‎＝3.‎ S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD ‎＝6×3sin 60°＝9.‎ 答案：3　9 ‎9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．‎ 解：连接AC，在△ACD中，‎ 由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得 AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D ‎＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，‎ 在△ABC中，‎ 由AB＝2，BC＝4，‎ 7‎ AC2＝28，‎ 可得cos B ‎＝ ‎＝＝－.‎ 又0°