高科数学专题复习课件：9_6　双曲线 87页

§9.6 　双曲线 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 双曲线定义 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的 等于常数 ( 小于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫做双曲线 . 这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做 . 集合 P ＝ { M ||| MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ， c 为常数且 a >0 ， c >0. (1) 当 时， P 点的轨迹是双曲线； (2) 当 时， P 点的轨迹是两条射线； (3) 当 时， P 点不存在 . 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2 a <| F 1 F 2 | 2 a ＝ | F 1 F 2 | 2 a >| F 1 F 2 | 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ( a >0 ， b >0) ( a >0 ， b >0) 图形 性 质 范围 对称性 对称轴 ： 　对称中心 ： x ≥ a 或 x ≤ － a ， y ∈ R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a 坐标轴 原点 性 质 顶点 A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) 渐近线 离心率 e ＝， e ∈ ， 其中 c ＝ 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的长 | A 1 A 2 | ＝ ； 线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴，它的长 | B 1 B 2 | ＝ ； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 a 、 b 、 c 的关系 c 2 ＝ ( c > a >0 ， c > b >0) (1 ，＋ ∞ ) 2 a 2 b a 2 ＋ b 2 巧设双曲线方程 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内到点 F 1 (0,4) ， F 2 (0 ，－ 4) 距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 .( 　　 ) (2) 方程 ( mn >0) 表示焦点在 x 轴上的双曲线 .( 　　 ) 思考辨析 × √ × √ √ 1.( 教材改编 ) 若 双曲线 ( a >0 ， b >0) 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率 为 考点自测 答案 解析 由题意得 b ＝ 2 a ，又 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， ∴ 5 a 2 ＝ c 2 . 2. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2 ＝ 16 x 的准线交于 A ， B 两点， | AB | ＝ 4 ， 则 C 的实轴长 为 答案 解析 ∵ 抛物线 y 2 ＝ 16 x 的准线为 x ＝－ 4 ， ∴ a ＝ 2 ， ∴ 2 a ＝ 4 . ∴ C 的实轴长为 4. 3.(2015· 安徽 ) 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ＝ ±2 x 的 是 答案 解析 由双曲线性质知 A 、 B 项双曲线焦点在 x 轴上，不合题意 ； C 、 D 项双曲线焦点均在 y 轴上，但 D 项渐近线为 y ＝ ± x ，只有 C 符合，故选 C. 答案 解析 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为 (2,0) ， 题型分类　深度剖析 例 1 　已知圆 C 1 ： ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 和圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆 M 同时 与 圆 C 1 及圆 C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为 _________________. 题型一　双曲线的定义及标准方程 命题点 1 　利用定义求轨迹方程 答 案 解析 几何画板展示 如图所示，设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于 A 和 B . 根据两圆外切的条件， 得 | MC 1 | － | AC 1 | ＝ | MA | ， | MC 2 | － | BC 2 | ＝ | MB | ， 因为 | MA | ＝ | MB | ， 所以 | MC 1 | － | AC 1 | ＝ | MC 2 | － | BC 2 | ， 即 | MC 2 | － | MC 1 | ＝ | BC 2 | － | AC 1 | ＝ 2 ， 所以点 M 到两定点 C 1 、 C 2 的距离的差是常数且小于 | C 1 C 2 | ＝ 6 . 又 根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 ( 点 M 与 C 2 的距离大，与 C 1 的距离小 ) ， 其中 a ＝ 1 ， c ＝ 3 ，则 b 2 ＝ 8. 命题点 2 　利用待定系数法求双曲线方程 解答 设双曲线的标准方程为 ∴ b ＝ 6 ， c ＝ 10 ， a ＝ 8. (2) 焦距为 26 ，且经过点 M (0,12) ； 解答 ∵ 双曲线经过点 M (0,12) ， ∴ M (0,12) 为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a ＝ 12. 又 2 c ＝ 26 ， ∴ c ＝ 13 ， ∴ b 2 ＝ c 2 － a 2 ＝ 25. 设双曲线方程为 mx 2 － ny 2 ＝ 1( mn >0). 解答 命题点 3 　利用定义解决焦点三角形问题 例 3 　 已知 F 1 ， F 2 为双曲线 C ： x 2 － y 2 ＝ 2 的左，右焦点，点 P 在 C 上， | PF 1 | ＝ 2| PF 2 | ，则 cos ∠ F 1 PF 2 ＝ ________. 答案 解析 ∵ 由双曲线的定义有 | PF 1 | － | PF 2 | 引申 探究 1. 本例中将条件 “ | PF 1 | ＝ 2| PF 2 | ” 改为 “∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ” ，则 △ F 1 PF 2 的面积是多少？ 解答 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 a ＝ 2 ， 在 △ F 1 PF 2 中，由余弦定理，得 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 a ＝ 2 ， 解答 所以在 △ F 1 PF 2 中，有 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 即 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ 16 ， 所以 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 4 ， 思维 升华 (1) 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； (2) 在 “ 焦点三角形 ” 中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a ，运用平方的方法，建立与 | PF 1 |·| PF 2 | 的联系 . (3) 待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a ， b ， c ， e 及渐近线之间的关系，求出 a ， b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程 为 ( λ ≠ 0) ，再由条件求出 λ 的值即可 . 跟踪训练 1 　 (1) 已知 F 1 ， F 2 为 双曲线 的 左，右焦点， P (3,1) 为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则 | AP | ＋ | AF 2 | 的最小值 为 答案 解析 几何画板展示 由题意知， | AP | ＋ | AF 2 | ＝ | AP | ＋ | AF 1 | － 2 a ， 要求 | AP | ＋ | AF 2 | 的最小值，只需求 | AP | ＋ | AF 1 | 的最小值， 当 A ， P ， F 1 三点共线时，取得最小值， 答案 解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点， | PF 1 | ＝ r 1 ， | PF 2 | ＝ r 2 . 根据双曲线的定义，得 r 1 － r 2 ＝ 2 a ， 题型二　双曲线的几何性质 答案 解析 A. m ＞ n 且 e 1 e 2 ＞ 1 B. m ＞ n 且 e 1 e 2 ＜ 1 C. m ＜ n 且 e 1 e 2 ＞ 1 D. m ＜ n 且 e 1 e 2 ＜ 1 由题意可得 m 2 － 1 ＝ n 2 ＋ 1 ，即 m 2 ＝ n 2 ＋ 2 ， 又 ∵ m ＞ 0 ， n ＞ 0 ，故 m ＞ n . (2)(2015· 山东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1 ： ( a >0 ， b >0) 的渐近线与抛物线 C 2 ： x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) 交于点 O ， A ， B . 若 △ OAB 的垂心为 C 2 的焦点，则 C 1 的离心率为 ________. 答案 解析 ∵△ OAB 的垂心为 F ， ∴ AF ⊥ OB ， ∴ k AF · k OB ＝－ 1 ， 思维 升华 答案 解析 题型三　直线与双曲线的综合问题 例 5 　 (2016· 兰州模拟 ) 已知椭圆 C 1 的方程 为 ＋ y 2 ＝ 1 ，双曲线 C 2 的左，右焦点分别是 C 1 的左，右顶点，而 C 2 的左，右顶点分别是 C 1 的左，右焦点 . (1) 求双曲线 C 2 的方程； 解答 则 a 2 ＝ 4 － 1 ＝ 3 ， c 2 ＝ 4 ， 再由 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ，得 b 2 ＝ 1. 解答 由直线 l 与双曲线 C 2 交于不同的两点，得 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 思维 升华 (1) 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于 x 或 y 的一元二次方程 . 当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于 0 时，用判别式 Δ 来判定 . (2) 用 “ 点差法 ” 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验 . 跟踪 训练 3 　若双曲线 E ： － y 2 ＝ 1( a >0) 的离心率 等于 ， 直线 y ＝ kx － 1 与双曲线 E 的右支交于 A ， B 两点 . (1) 求 k 的取值范围； 解答 故双曲线 E 的方程为 x 2 － y 2 ＝ 1. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 得 (1 － k 2 ) x 2 ＋ 2 kx － 2 ＝ 0 . (*) ∵ 直线与双曲线右支交于 A ， B 两点， 解析 整理得 28 k 4 － 55 k 2 ＋ 25 ＝ 0 ， ∴ k 2 ＝ 或 k 2 ＝ ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ， y 1 ＋ y 2 ＝ k ( x 1 ＋ x 2 ) － 2 ＝ 8. ∵ 点 C 是双曲线上一点 . 直线 与圆锥曲线的交点 现场纠错系列 12 (1) “ 点差法 ” 解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件 . (2) “ 判别式 Δ ≥ 0 ” 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 . 错 解展示 现场纠错 纠错心得 典例 　已知双曲线 x 2 － ＝ 1 ，过点 P (1,1) 能否作一条直线 l ，与双曲线交于 A ， B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？ 返回 解 　设点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在双曲线上，且线段 AB 的中点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意 . 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y － 1 ＝ k ( x － 1) ， 即 y ＝ kx ＋ 1 － k . 得 (2 － k 2 ) x 2 － 2 k (1 － k ) x － (1 － k ) 2 － 2 ＝ 0(2 － k 2 ≠ 0 ). ① 当 k ＝ 2 时，方程 ① 可化为 2 x 2 － 4 x ＋ 3 ＝ 0. Δ ＝ 16 － 24 ＝－ 8<0 ，方程 ① 没有实数解 . ∴ 不能作一条直线 l 与双曲线交于 A ， B 两点，且点 P (1,1) 是线段 AB 的中点 . 返回 课时作业 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 ∴ ( m 2 ＋ n )·(3 m 2 － n )>0 ，解得－ m 2 < n <3 m 2 ，由双曲线性质，知 c 2 ＝ ( m 2 ＋ n ) ＋ (3 m 2 － n ) ＝ 4 m 2 ( 其中 c 是半焦距 ) ， ∴ 焦距 2 c ＝ 2 × 2| m | ＝ 4 ，解得 | m | ＝ 1 ， ∴ － 1< n <3 ，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 由题意易知点 F 的坐标为 ( － c, 0) ， A ( － c ， ) ， B ( － c ，－ ) ， E ( a, 0) ， ∵△ ABE 是锐角三角形， 整理得 3 e 2 ＋ 2 e > e 4 ， ∴ e ( e 3 － 3 e － 3 ＋ 1)<0 ， ∴ e ( e ＋ 1) 2 ( e － 2)<0 ，解得 e ∈ (0,2) ，又 e >1 ， ∴ e ∈ (1,2) ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2016· 北京 ) 已知 双曲线 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的一条渐近线为 2 x ＋ y ＝ 0 ，一个焦点为 ( ， 0) ，则 a ＝ ___ ； b ＝ ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 由 2 x ＋ y ＝ 0 ，得 y ＝－ 2 x ， 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 2. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2016· 浙江 ) 设双曲线 x 2 － ＝ 1 的左，右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若点 P 在双曲线上，且 △ F 1 PF 2 为锐角三角形，则 | PF 1 | ＋ | PF 2 | 的取值范围是 ________. 答案 解析 如图，由已知可得 a ＝ 1 ， b ＝ ， c ＝ 2 ，从而 | F 1 F 2 | ＝ 4 ，由对称性不妨设 P 在右支上， 设 | PF 2 | ＝ m ， 则 | PF 1 | ＝ m ＋ 2 a ＝ m ＋ 2 ， 由于 △ PF 1 F 2 为锐角三角形， 解得－ 1 ＋ ＜ m ＜ 3 ，又 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 m ＋ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知 双曲线 ( a >0 ， b >0) 的左，右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 在双曲线的右支上，且 | PF 1 | ＝ 4| PF 2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大 值 为 ________. 答案 解析 要求 e 的最大值，即求 cos ∠ F 1 PF 2 的最小值， 由定义，知 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 a . 又 | PF 1 | ＝ 4| PF 2 | ， 在 △ PF 1 F 2 中，由余弦定理， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知 F 是双曲线 C ： x 2 － ＝ 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A (0,6 ). 当 △ APF 的周长最小时，该三角形的面积为 ________. 答案 解析 设左焦点为 F 1 ， | PF | － | PF 1 | ＝ 2 a ＝ 2 ， ∴ | PF | ＝ 2 ＋ | PF 1 | ， △ APF 的周长为 | AF | ＋ | AP | ＋ | PF | ＝ | AF | ＋ | AP | ＋ 2| PF 1 | ， △ APF 周长最小即为 | AP | ＋ | PF 1 | 最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F 1 ， F 2 ，且 | F 1 F 2 | ＝ 2 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4 ，离心率之比为 3 ∶ 7. (1) 求这两曲线方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知 c ＝ ， 设椭圆长半轴长，短半轴长分别为 a ， b ， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为 m ， n ， 解得 a ＝ 7 ， m ＝ 3. ∴ b ＝ 6 ， n ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos ∠ F 1 PF 2 的值 . 解答 不妨设 F 1 ， F 2 分别为左，右焦点， P 是第一象限的一个交点， 则 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 14 ， | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 6 ， ∴ | PF 1 | ＝ 10 ， | PF 2 | ＝ 4. 又 | F 1 F 2 | ＝ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(2016· 湖北部分重点中学第一次联考 ) 在面积为 9 的 △ ABC 中 ， 现 建立以 A 点为坐标原点，以 ∠ BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，如图所示 . (1) 求 AB ， AC 所在直线的方程； 解答 设 ∠ CAx ＝ α ，则由 tan ∠ BAC ＝ tan 2 α 得 tan α ＝ 2 ， ∴ AC 所在直线方程为 y ＝ 2 x ， AB 所在直线方程为 y ＝－ 2 x . (2) 求以 AB ， AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设所求双曲线的方程为 4 x 2 － y 2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ， C ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 )( x 1 >0 ， x 2 >0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ＝ 2 x 1 x 2 ＝ 9 ，代入 ① ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 过 D 分别作 AB ， AC 所在直线的垂线 DF ， DE ( E ， F 为垂足 ) ，求 的 值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 c ＝ 2 ， c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ， ∴ 4 ＝ a 2 ＋ 3 a 2 ， ∴ a 2 ＝ 1 ， b 2 ＝ 3 ， (2) 设经过焦点 F 2 的直线 l 的一个法向量为 ( m, 1) ，当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A ， B 时，求实数 m 的取值范围，并证明 AB 中点 M 在曲线 3( x － 1) 2 － y 2 ＝ 3 上； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l ： m ( x － 2) ＋ y ＝ 0 ， 得 (3 － m 2 ) x 2 ＋ 4 m 2 x － 4 m 2 － 3 ＝ 0. 由 Δ >0 ，得 4 m 4 ＋ (3 － m 2 )(4 m 2 ＋ 3)>0 ， 12 m 2 ＋ 9 － 3 m 2 >0 ，即 m 2 ＋ 1>0 恒成立 . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ M 在曲线 3( x － 1) 2 － y 2 ＝ 3 上 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 设 (2) 中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A ， B 两点，问是否存在实数 m ，使得 ∠ AOB 为锐角？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 假设存在实数 m ，使 ∠ AOB 为锐角， ∴ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 >0. ∵ y 1 y 2 ＝ ( － mx 1 ＋ 2 m )( － mx 2 ＋ 2 m ) ＝ m 2 x 1 x 2 － 2 m 2 ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 m 2 ， ∴ (1 ＋ m 2 ) x 1 x 2 － 2 m 2 ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 m 2 >0 ， ∴ (1 ＋ m 2 )(4 m 2 ＋ 3) － 8 m 4 ＋ 4 m 2 ( m 2 － 3)>0 ， 与 m 2 >3 矛盾， ∴ 不存在实数 m ，使得 ∠ AOB 为锐角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13