2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版2019） 11页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版2019）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．若双曲线的一个焦点为，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线性质：，，∴，，故选B。‎ ‎2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立以为原点的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎∴，故选C。‎ ‎3．若点是直线：外一点，则方程表示( )。‎ A、过点且与垂直的直线 B、过点且与平行的直线 C、不过点且与垂直的直线 D、不过点且与平行的直线 ‎【答案】D ‎【解析】∵点不在直线：上，∴，‎ ‎∴直线不过点，‎ 又直线与直线：平行，故选D。‎ ‎4．已知圆：和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：‎ ‎ ，即的最小值为，故选A。‎ ‎5．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意已知圆与圆相交，∴，‎ 解得且，故选B。‎ ‎6．如图所示，在三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵平面，∴、，‎ 过点作，又，则、、两两垂直，‎ 如图，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，又为中点，则 故，，∴，‎ 设异面直线与所成的角为，则，故选C。‎ 另解：还原长方体，则， ，‎ 则异面直线与所成的角为与所成的角即，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，故选C。‎ ‎7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，则，‎ 可得，，，‎ 又时，∴，∴，‎ 又∵，∴，故选D。‎ ‎8．已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知抛物线()的焦点坐标为，准线方程为，‎ 由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，‎ ‎∴，则，解得，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，‎ 则双曲线的离心率为，故选C。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】设所求直线方程为(、不同时为)，‎ 显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，‎ 当时，，当时，，‎ 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，‎ 令，则，整理，得，‎ 解得，或，则，或，‎ 故所求直线方程为或，故选AC。‎ ‎10．给出下列命题，其中正确的有( )。‎ A、空间任意三个向量都可以作为一组基底 B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面 D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底 ‎【答案】BCD ‎【解析】A选项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错，‎ B选项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B对，‎ C选项，若、、不能构空间的一组基底，则、、共面，‎ 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C对，‎ D选项，∵是空间向量的一组基底，则、与向量一定不共面，‎ ‎∴也可以构成空间向量的一组基底， ‎ 故选CBD。‎ ‎11．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】设，则，则，又，‎ 则以为直径的圆的方程为，将代入，‎ 得，即，，由得：，‎ 解得或，则方程为或，故选BD。‎ ‎12．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于 ‎、两点，则下列命题正确的是( )。‎ A、双曲线是黄金双曲线 B、若，则该双曲线是黄金双曲线 C、若，则该双曲线是黄金双曲线 D、若，则该双曲线是黄金双曲线 ‎【答案】BCD ‎【解析】A选项，，不是黄金双曲线；‎ B选项，，化成，即，‎ 又，解得，是黄金双曲线；‎ C选项，∵，∴，∴，‎ 化简得，由②知是黄金双曲线；‎ D选项，∵，∴轴，，且是等腰，∴，‎ 即，由②知是黄金双曲线；‎ 综上，BCD是黄金双曲线，故选BCD。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点关于直线：的对称点为，则反射光线所在直线过点，‎ ‎∴，∴解得，，又反射光线经过点，‎ ‎∴所求直线的方程为，即。‎ ‎14．如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵、、、‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 设平面的法向量为，‎ 则且，‎ ‎∴可取，，∴。‎ ‎15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，由题意可知，，‎ 由得，‎ 又根据∽可得，‎ 即，即，解得，，‎ ‎∴点的坐标为或，∴。‎ ‎16．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图建系，则，，，，‎ 设点，，，则，‎ ‎，则，‎ 设点，，，‎ 则，，则，‎ ‎∴，‎ 则当且仅当、时，线段长度取最小值是。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。‎ ‎(1)求线段中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若，求线段中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】(1)设的中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为， 2分 ‎∵点在圆上，∴， 4分 故线段中点的轨迹方程为； 5分 ‎(2)设的中点为，在中，， 6分 设为坐标原点，连接，则，‎ ‎∴， 8分 ‎∴，‎ 故线段中点的轨迹方程为。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。‎ ‎(1)求点的轨迹方程；‎ ‎(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)由题意知：，，∴， 2分 ‎∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为； 3分 ‎(2)设、，则将直线与椭圆的方程联立得，消去得： 5分 ‎，由得：，① 7分 ‎∴，， 8分 ‎∵原点总在以为直径的圆的内部，∴，即， 9分 而，∴， 10分 即，∴，且满足①式的取值范围是。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，，为的中点，为的中点。‎ ‎(1)证明：直线平面；‎ ‎(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)证明：由题意可知，三棱柱为直三棱柱，则四边形为矩形，‎ 连接交于点，连、，则为和的中点，‎ 又∵为的中点，∴， 2分 又∵为的中点， ∴，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴， 4分 又∵平面，平面，∴平面； 5分 ‎(2)∵三角形为正三角形，∴，又底面，∴底面，‎ 以为原点，、、为、、轴建立直角坐标系，如图建系， 6分 则，，，，，， 7分 设平面的法向量为，又，，‎ 则，得，‎ 令，则，，则， 9分 又可知平面的法向量为， 10分 设平面与平面的夹角的平面角为，‎ 则，‎ ‎∴平面和平面所成的锐二面角的余弦值。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：()的左、右顶点分别为、，其离心率，过点的直线与椭圆交于、两点(异于、)，当直线的斜率不存在时，。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得：，，， 2分 解得，，，∴椭圆的方程为：； 4分 ‎(2)由题意可知直线的倾角不为，‎ 设直线的方程为，、， 5分 联立，由题意可知恒成立， 6分 由、是上方程的两根可知：，‎ ‎， 7分 直线的方程为：，直线的方程为：， 8分 得：， 10分 把代入得：‎ ‎， 11分 即，故点恒在定直线上。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在多面体中，底面是梯形，，，，底面 ‎，，，点为的中点，点在线段上。‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置。‎ ‎【解析】(1)证明：在梯形中，∵，则，‎ ‎∴，，∴， 1分 ‎∵点为的中点，∴，∴， 2分 ‎∴四边形是平行四边形，，∴， 3分 又∵底面，底面，∴， 4分 又平面，平面，，∴平面； 5分 ‎(2)解：以建系，则、、、、，‎ ‎∴，，， 6分 设()，则，‎ 则，， 7分 设平面的法向量为，由得， 8分 令得平面的一个法向量为， 9分 则 ‎，‎ 解得或(舍)，即， 11分 ‎∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：。‎ ‎【解析】(1)∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、，‎ ‎∴依题意有：， 1分 ‎∵，∴，故可设椭圆的方程为：， 2分 ‎∵点在椭圆上，∴将其代入椭圆的方程得， 3分 ‎∴椭圆的方程为； 4分 ‎(2)依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，‎ 即， 5分 设与椭圆的两个交点为、，‎ 将代入方程化简得：‎ ‎， 6分 ‎∴恒成立，∴，， 7分 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎， 9分 又由，解得，， 10分 即点的坐标为，∴， 11分 ‎∴，原命题得证。 12分