高科数学专题复习课件：9_3　圆的方程 61页

§9.3 　圆的方程 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 圆 的定义与方程 知识梳理 定义 平面内 到 的 距离 等于 的 点的轨迹叫做圆 方程 标准 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) 圆心 ________ 半径 为 ___ 一般 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 充要条件 ： 圆心坐标 ： 半径 r ＝ D 2 ＋ E 2 － 4 F >0 ( a ， b ) r 定点 定长 1. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D 、 E 、 F 的方程组； (3) 解出 a 、 b 、 r 或 D 、 E 、 F 代入标准方程或一般方程 . 2. 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 . 圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，点 M ( x 0 ， y 0 ) 知识 拓展 (1) 点在圆上 ： ； (2) 点在圆外 ： ； (3) 点在圆内 ： . ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 > r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 < r 2 ( 4) 方程 x 2 ＋ 2 ax ＋ y 2 ＝ 0 一定表示圆 .( 　　 ) (5) 若点 M ( x 0 ， y 0 ) 在圆 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 外，则 x ＋ y ＋ Dx 0 ＋ Ey 0 ＋ F ＞ 0.( 　　 ) 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径 .( 　　 ) (2) 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则以 AB 为直径的圆的方程是 ( x － x 1 )( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0.( 　　 ) (3) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠ 0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) √ √ √ × √ 1.( 教材改编 ) 将圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 平分的直线 是 A. x ＋ y － 1 ＝ 0 B. x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 C. x － y ＋ 1 ＝ 0 D. x － y ＋ 3 ＝ 0 考点自测 答案 解析 圆心是 (1,2) ，所以将圆心坐标代入检验选项 C 满足 . 2. 已知圆 C ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 1 和两点 A ( － m, 0) ， B ( m ， 0)( m >0) ，若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠ APB ＝ 90° ，则 m 的最大值 为 A.7 B.6 C.5 D.4 答案 解析 根据题意，画出示意图，如图所示， 则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1 ，且 | AB | ＝ 2 m . 因为 ∠ APB ＝ 90° ，连接 OP ， 要求 m 的最大值， 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 . 所以 | OP | max ＝ | OC | ＋ r ＝ 6 ， 即 m 的最大值为 6. 3.(2015· 北京 ) 圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程 是 A.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 D.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 答案 解析 ∴ 圆的方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2. 4.( 教材改编 ) 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A ( － 1,1) 和 B (1,3) ，则圆 C 的方程为 ______________. 答案 解析 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10 设圆心坐标为 C ( a, 0) ， ∵ 点 A ( － 1,1) 和 B (1,3) 在圆 C 上， ∴ | CA | ＝ | CB | ， 解得 a ＝ 2 ， ∴ 圆心为 C (2,0) ， ∴ 圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10. 5.(2016· 浙江 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ___________ ，半径是 _____. 答案 解析 ( － 2 ，－ 4) 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心，半径为 5 的圆 . 5 题型分类　深度剖析 题型一　求圆的方程 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 答案 解析 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C ( a, 0) ，且 a >0 ， 所以圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9. 答案 解析 由题意知圆过 (4,0) ， (0,2) ， (0 ，－ 2) 三点 ， ( 4,0) ， (0 ，－ 2) 两点的垂直平分线方程 为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － 2) ， 思维 升华 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . (2) 待定系数法 ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D 、 E 、 F 的方程组，进而求出 D 、 E 、 F 的值 . 跟踪训练 1 (2016· 湖北八校联考 ) 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A (1,0) ，且被 x 轴分成两段弧，弧长之比为 1 ∶ 2 ，则圆 C 的标准方程 为 ________________. 答案 解析 ∵ 圆 C 关于 y 轴对称， ∴ 可设 C (0 ， b ) ， 设圆 C 的半径为 r ，则圆 C 的标准方程为 x 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ， 题型二　与圆有关的最值问题 例 2 　已知点 ( x ， y ) 在圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 3) 2 ＝ 1 上 . 求 x ＋ y 的最大值和最小值 . 解答 几何画板展示 设 t ＝ x ＋ y ，则 y ＝－ x ＋ t ， t 可视为直线 y ＝－ x ＋ t 在 y 轴上的截距， ∴ x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 . 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 的 最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 . 引申 探究 解答 几何画板展示 求 它的最值可视为求 点 ( x ， y ) 到定点 ( － 1, 2) 的距离的最值，可转化为圆心 (2 ，－ 3) 到定点 ( － 1,2) 的距离与半径的和或差 . 又圆心到定点 ( － 1,2) 的距离 为 ， 解答 思维 升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1) 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 . 一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解 . (2) 与圆上点 ( x ， y ) 有关代数式的最值的常见类型及解法 . ① 形如 u ＝ 型 的最值问题，可转化为过点 ( a ， b ) 和点 ( x ， y ) 的直线的斜率的最值问题； ② 形如 t ＝ ax ＋ by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③ 形如 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 型的最值问题，可转化为动点到定点 ( a ， b ) 的距离平方的最值问题 . 跟踪训练 2 已知 实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0. 求： 解答 如图，方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 表示以点 (2,0) 为圆心， 以 为 半径的圆 . (2) y － x 的最小值； 解答 设 y － x ＝ b ，则 y ＝ x ＋ b ， 当且仅当直线 y ＝ x ＋ b 与圆切于第四象限时，在 y 轴上的截距 b 取最小值， (3) x 2 ＋ y 2 的最大值和最小值 . 解答 x 2 ＋ y 2 是圆上的点与原点的距离的平方，故连接 OC ， 与圆交于 B 点，并延长交圆于 C ′ ，则 题型三　与圆有关的轨迹问题 例 3 　 ( 2017· 潍坊 调研 ) 已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上一定点 A (2,0) ， B (1,1) 为圆内一点， P ， Q 为圆上的动点 . (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程； 解答 设 AP 的中点为 M ( x ， y ) ， 由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2 x － 2,2 y ). 因为 P 点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上， 所以 (2 x － 2) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ， 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1. 几何画板展示 (2) 若 ∠ PBQ ＝ 90° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 . 解答 设 PQ 的中点为 N ( x ， y ) ，在 Rt △ PBQ 中， | PN | ＝ | BN |. 设 O 为坐标原点，连接 ON ，则 ON ⊥ PQ ， 所以 | OP | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | PN | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | BN | 2 ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － x － y － 1 ＝ 0. 几何画板展示 思维 升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程 ； ( 2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程 ； ( 3) 几何法，利用圆的几何性质列方程 ； ( 4) 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 . 跟踪训练 3 (2016· 天津模拟 ) 设定点 M ( － 3,4) ，动点 N 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上运动，以 OM 、 ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹 . 解答 几何画板展示 如图所示，设 P ( x ， y ) ， N ( x 0 ， y 0 ) ， 由于平行四边形的对角线互相平分， 又 N ( x ＋ 3 ， y － 4) 在圆上，故 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 4. 因此所求轨迹为圆： ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 4 ， 典例　 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程 . 利用 几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列 21 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法 . (1) 一般解法 ( 代数法 ) ：可以求出曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式 . (2) 巧妙解法 ( 几何法 ) ：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题 . 规范解答 思想方法指 导 解　 一般解法 　 ( 代数法 ) 曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与 y 轴的交点为 (0,1) ，与 x 轴的交点为 (3 ＋ 2 ， 0) ， (3 － 2 ， 0) ，设圆的方程是 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D 2 ＋ E 2 － 4 F >0) ， 故圆的方程是 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0. 巧妙解法 　 ( 几何法 ) 曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与 y 轴的交点为 (0,1) ，与 x 轴的交点为 (3 ＋ 2 ， 0) ， (3 － 2 ， 0). 故可设 C 的圆心为 (3 ， t ) ，则有 3 2 ＋ ( t － 1) 2 ＝ ( 2 ) 2 ＋ t 2 ，解得 t ＝ 1. 所以圆 C 的方程为 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9. 课时作业 1.(2016· 南昌检测 ) 圆心在 y 轴上，且过点 (3,1) 的圆与 x 轴相切，则该圆的方程 是 A. x 2 ＋ y 2 ＋ 10 y ＝ 0 B. x 2 ＋ y 2 － 10 y ＝ 0 C. x 2 ＋ y 2 ＋ 10 x ＝ 0 D. x 2 ＋ y 2 － 10 x ＝ 0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 根据题意，设圆心坐标为 (0 ， r ) ，半径为 r ，则 3 2 ＋ ( r － 1) 2 ＝ r 2 ， 解得 r ＝ 5 ，可得圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 10 y ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 昆明一模 ) 方程 | x | － 1 ＝ 所 表示的曲线 是 A. 一个圆 B . 两个圆 C. 半个圆 D . 两个半圆 √ 答案 解析 故原方程表示两个半圆 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若直线 ax ＋ 2 by － 2 ＝ 0( a >0 ， b >0) 始终平分圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y － 8 ＝ 0 的周长 ，则 的 最小值 为 √ 答案 解析 由题意知圆心 C (2,1) 在直线 ax ＋ 2 by － 2 ＝ 0 上， ∴ 2 a ＋ 2 b － 2 ＝ 0 ，整理得 a ＋ b ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 点 P (4 ，－ 2) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上任一点连线的中点的轨迹方程 是 A.( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 B .( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 C.( x ＋ 4) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 D .( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 √ 答案 解析 设圆上任一点坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2016· 绵阳诊断 ) 圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线 x 2 － ＝ 1 的渐近线截得的弦长 为 ， 则圆 C 的方程 为 √ 答案 解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率 为 ， 倾斜角为 60° ，结合图形 ( 图略 ) 可知，所求的圆 C 的圆心坐标是 (0,1) 、半径是 1 ，因此其方程是 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2016· 九江模拟 ) 已知 P 是直线 l ： 3 x － 4 y ＋ 11 ＝ 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的两条切线 ( A ， B 是切点 ) ， C 是圆心，那么四边形 PACB 的面积的最小值是 √ 答案 解析 圆的方程可化为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 ，则 C (1,1) ， 当 | PC | 最小时，四边形 PACB 的面积最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2016· 南昌模拟 ) 若圆 C 经过坐标原点与点 (4,0) ，且与直线 y ＝ 1 相切 ， 则 圆 C 的方程是 ___________________. 答案 解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点 (0,0) 和 (4,0) ，所以设圆心为 (2 ， m ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 过点 P (1,1) 的直线，将圆形区域 {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 4} 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ______________. 答案 解析 x ＋ y － 2 ＝ 0 当圆心与点 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件 . 圆心 O 与点 P 连线的斜率 k ＝ 1 ， 所求直线方程为 y － 1 ＝－ ( x － 1) ，即 x ＋ y － 2 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知 D 是由不等式 组 所 确定的平面区域，则圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 在 区域 D 内的弧长为 ____. 答案 解析 作出可行域 D 及圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ，如图所示， 图中阴影部分所在圆心角 θ ＝ α － β 所对的弧长即为所求 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知圆 C 经过 P (4 ，－ 2) ， Q ( － 1,3) 两点，且在 y 轴上截得的线段的长为 4 ， 半径小于 5. (1) 求直线 PQ 与圆 C 的方程； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知直线 PQ 的方程为 x ＋ y － 2 ＝ 0. 设圆心 C ( a ， b ) ，半径为 r ， 即 y ＝ x － 1 ，所以 b ＝ a － 1 . ① 知 r 2 ＝ 12 ＋ a 2 ， 可得 ( a ＋ 1) 2 ＋ ( b － 3) 2 ＝ 12 ＋ a 2 ， ② 由 ①② 得 a ＝ 1 ， b ＝ 0 或 a ＝ 5 ， b ＝ 4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 a ＝ 1 ， b ＝ 0 时， r 2 ＝ 13 ，满足题意， 当 a ＝ 5 ， b ＝ 4 时， r 2 ＝ 37 ，不满足题意 . 故圆 C 的方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若直线 l ∥ PQ ，且 l 与圆 C 交于点 A ， B ，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ m ( m ≠ 2) ， A ( x 1 ， m － x 1 ) ， B ( x 2 ， m － x 2 ). ∴ x 1 x 2 ＋ ( m － x 1 )( m － x 2 ) ＝ 0 ， 化简得 2 x 1 x 2 － m ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ m 2 ＝ 0 . ③ 2 x 2 － 2( m ＋ 1) x ＋ m 2 － 12 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代入 ③ ，得 m 2 － 12 － m ·(1 ＋ m ) ＋ m 2 ＝ 0 ， ∴ m ＝ 4 或 m ＝－ 3 ，经检验都满足题意， ∴ 直线 l 的方程为 x ＋ y － 4 ＝ 0 或 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设 P ( x ， y ) ，圆 P 的半径为 r . 则 y 2 ＋ 2 ＝ r 2 ， x 2 ＋ 3 ＝ r 2 . ∴ y 2 ＋ 2 ＝ x 2 ＋ 3 ，即 y 2 － x 2 ＝ 1. ∴ P 点的轨迹方程为 y 2 － x 2 ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设 P 点的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， ∴ y 0 － x 0 ＝ ±1 ，即 y 0 ＝ x 0 ±1. ∴ 圆 P 的方程为 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 圆 P 的方程为 x 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 3. 综上所述，圆 P 的方程为 x 2 ＋ ( y ±1) 2 ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知 M 为圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 14 y ＋ 45 ＝ 0 上任意一点，且点 Q ( － 2,3). (1) 求 | MQ | 的最大值和最小值； 解答 由圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 14 y ＋ 45 ＝ 0 ， 可得 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 7) 2 ＝ 8 ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线 MQ 的方程为 y － 3 ＝ k ( x ＋ 2) ， 由直线 MQ 与圆 C 有交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13