高科数学专题复习课件：第十四章 14_1 第2课时坐标系与参数方程 48页

§14.1 　 坐标系与参数方程 第 2 课时　参数方程 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 . 一般地， 可以 _____________ 从 参数方程得到普通方程 . (2) 如果知道变数 x ， y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x ＝ f ( t ) ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y ＝ g ( t ) ， 那么 就是 曲线的参数方程 . 1. 参数方程和普通方程的互化 知识梳理 通过消去参数 2. 常见曲线的参数方程和普通方程 点 的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y － y 0 ＝ tan α ( x － x 0 ) ________________________ 圆 _________ 椭圆 ———————————— x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 考点自测 将直线 l 的参数方程化为普通方程为 解答 y － 2 ＝－ 3( x － 1) ，因此直线 l 的斜率为－ 3. 解答 直线 l 2 的方程为 y ＝－ 2 x ＋ 1 ，斜率为－ 2. ∵ l 1 与 l 2 垂直， 3. 已知点 P (3 ， m ) 在以点 F 为焦点的 抛物线 ( t 为参数 ) 上， 求 | PF| 的 值 . 解答 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y 2 ＝ 4 x ， 则 焦点 F (1,0) ，准线 方程为 x ＝－ 1 ， 又 P (3 ， m ) 在抛物线上，由抛物线的定义 知 | PF| ＝ 3 － ( － 1) ＝ 4. 4.(2016· 北京东城区模拟 ) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ ＝ 1 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 是 ( t 为参数 ) ，求直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长 . 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， 直线 l 的普通方程为 3 x － 4 y ＋ 3 ＝ 0. 解答 题型分类　深度剖析 例 1 　 (1) 如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，求圆 x 2 ＋ y 2 － x ＝ 0 的参数方程 . 题型一　参数方程与普通方程的互化 解答 解答 直线 l 的普通方程为 x ＋ y ＝ 2 ，曲线 C 的普通方程为 y ＝ ( x － 2) 2 ( y ≥ 0) ， 思维 升华 消去参数的方法一般有三种： (1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2) 利用三角恒等式消去参数； (3) 根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 . 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f ( t ) 和 g ( t ) 的值域，即 x 和 y 的取值范围 . 跟踪训练 1 　 (1) 求 直线 ( t 为参数 ) 与 曲线 ( α 为参数 ) 的交点个数 . 解答 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点 . 直线 l 的普通方程为 x － y － a ＝ 0 ， ∴ 椭圆 C 的右顶点坐标为 (3,0) ，若直线 l 过 (3,0) ， 则 3 － a ＝ 0 ， ∴ a ＝ 3. 解答 例 2 　 已知直线 l 的参数方程 为 ( t 为参数 ) ，圆 C 的参数方程 为 ( θ 为参数 ). 解答 直线 l 的普通方程为 2 x － y － 2 a ＝ 0 ， 圆 C 的普通方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 16. 题型二　参数方程的应用 (1) 求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2) 若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 . 解答 因为直线 l 与圆 C 有公共点， 思维 升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 . 跟踪训练 2 　 解答 曲线 C 1 的普通方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 5( x ≥ 0 ， y ≥ 0). 曲线 C 2 的普通方程为 x － y － 1 ＝ 0. ∴ 曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为 (2,1). 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 (1) 求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标； 解答 (2) 若 C 1 与 C 2 相交于点 A ， C 1 与 C 3 相交于点 B ， 求 | AB| 的 最大值 . 解答 思维 升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答 . 例如 ，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的 “ 化生为熟 ” 原则，充分体现了转化与化归的数学思想 . 解答 (1) 求圆心的极坐标； 即 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2. ∴ 圆心坐标为 (1 ，－ 1) ， 解答 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴ x ＝ 0 或 x ＝ 1 . ∴ 所截得的弦长为 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 直线的普通方程为 bx － ay － 4 b ＝ 0 ，圆的普通方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3 ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 ： ( t 为参数 ) ，以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线 l 相切的圆的极坐标方程 . 解答 ∴ 以极点为圆心且与直线 l 相切的圆的极坐标方程为 ρ ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2016· 全国甲卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ( x ＋ 6) 2 ＋ y 2 ＝ 25. (1) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； 解答 由 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ 2 ＋ 12 ρ cos θ ＋ 11 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在 (1) 中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ ＝ α ( ρ ∈ R ). 设 A ， B 所对应的极径分别为 ρ 1 ， ρ 2 ，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ 2 ＋ 12 ρ cos α ＋ 11 ＝ 0. 于是 ρ 1 ＋ ρ 2 ＝－ 12cos α ， ρ 1 ρ 2 ＝ 11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 写出 ⊙ C 的直角坐标方程； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (2) P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 . 故当 t ＝ 0 时， PC 取得最小值， 此时， P 点的直角坐标为 (3,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (1) 说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程； 消去参数 t 得到 C 1 的普通方程 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ a 2 ， C 1 是以 (0,1) 为圆心， a 为半径的圆 . 将 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中，得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 － 2 ρ sin θ ＋ 1 － a 2 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ ＝ α 0 ，其中 α 0 满足 tan α 0 ＝ 2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a . 曲线 C 1 ， C 2 的公共点的极坐标满足方程组 解答 若 ρ ≠ 0 ，由方程组得 16cos 2 θ － 8sin θ cos θ ＋ 1 － a 2 ＝ 0 ， 由 已知 tan θ ＝ 2 ，可得 16cos 2 θ － 8sin θ cos θ ＝ 0 ， 从而 1 － a 2 ＝ 0 ，解得 a ＝－ 1( 舍去 ) ， a ＝ 1. a ＝ 1 时，极点也为 C 1 ， C 2 的公共点，在 C 3 上 . 所以 a ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标系方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (2) 设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 | PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标 . 因为 C 2 是直线，所以 | PQ | 的最小值即为 P 到 C 2 距离 d ( α ) 的最小值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10