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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04(人教A版)(文)

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‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04(人教A版)(文)‎ ‎(本卷满分150分,考试时间120分钟)‎ 测试范围:人教A版必修5全册+选修1-1第一章、第二章 一、单项选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知命题:,则为( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为命题:,‎ 所以为,,‎ 故选A ‎2.关于x的不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式可化为,有,‎ 故不等式的解集为.‎ 故选B ‎3.在等差数列中,,,则( )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【答案】C ‎【解析】是等差数列,,‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎4.“平面内一动点到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点的轨迹为椭圆”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数,当常数小于等于两定点的距离时,轨迹不是椭圆,若平面内一动点P的轨迹为椭圆,则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立,‎ 即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件,‎ 故选B.‎ ‎5.在中,,则此三角形解的情况是( )‎ A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以有两解.‎ 故选B.‎ ‎6.已知等比数列,,是方程的两实根,则等于( )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,是方程的两实根,‎ 由根与系数的关系可得 ,,可知,‎ 因为是等比数列,所以,‎ 因为 ,所以,‎ 所以,‎ 故选A ‎7.在中,角A、B、C的对边分别为、、,若,则角B的值为( )‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】,‎ 由余弦定理可得 或 故选D.‎ ‎8.双曲线左、右焦点分别为,一条渐近线与直线垂直,点在上,且,则( )‎ A.6或30 B.6 C.30 D.6或20‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线左、右焦点分别为,,一条渐近线与直线垂直,‎ 可得,解得,‎ 点在上,,所以在双曲线的右支上,‎ 则.‎ 故选.‎ ‎9.已知实数,满足不等式组,则的最小值为( )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示,‎ 由,得,‎ 作出直线,即直线,‎ 将此直线向下平移过点时,直线在轴上的截距最小,此时取得最小值,‎ 由,得,即,‎ 所以的最小值为,‎ 故选D ‎10.已知数列满足,,则( )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得,,,‎ ‎,,‎ 可以判断出数列是以4为周期的数列,故,‎ 故选D.‎ ‎11.在锐角三角形中,角、、的对边分别为、、,若,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由和余弦定理得,又,.‎ 因为三角形为锐角三角形,则,即,解得,‎ ‎,‎ ‎,即,所以,,‎ 则,因此,的取值范围是.‎ 故选A.‎ ‎12.已知椭圆的方程为,上顶点为,左顶点为,设为椭圆上一点,则面积的最大值为.若已知,点为椭圆上任意一点,则的最小值为( )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在椭圆中,‎ 点,则,,‎ 直线的方程为,设与直线平行的椭圆的切线方程为,‎ 由方程组得,‎ 由,得,则,‎ 两平行线间的距离,‎ 则面积的最大值为,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由及正弦定理,‎ 得,‎ 即,因为,,‎ 所以 故填 ‎14.已知数列的前n项和为,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,‎ 令,则,即,‎ ‎,‎ 所以,‎ 故填29‎ ‎15.若正实数满足,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】6;‎ ‎【解析】因为,所以,即,‎ 所以,‎ 所以,当且仅当,即时取等号,‎ 所以的最小值为6‎ 故填6‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线命题:‎ ‎①“曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”;‎ ‎②若双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为;‎ ‎③抛物线的准线方程为;‎ ‎④长为6的线段的端点分别在、轴上移动,动点满足,则动点的轨迹方程为.‎ 其中正确命题的序号为_________.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】对于①, “曲线为椭圆”的充要条件是“且”.‎ 所以“曲线为椭圆”的必要不充分条件是“”,故①错误;‎ 对于②,椭圆的焦点为,又双曲线的离心率,所以双曲线的方程为,所以双曲线的渐近线方程为,故②错误;‎ 对于③,抛物线的方程化为标准式,准线方程为,故③正确;‎ 对于④,设,,‎ ‎,即,即动点的轨迹方程为.故④正确.‎ 故填③④.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知,:关于的方程有实数根.‎ ‎(1)若为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若为真命题,为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1) 方程有实数根,得:得;‎ ‎(2)为真命题,为真命题 为真命题,为假命题,即得.‎ ‎18.已知不等式的解集为.‎ ‎(1)求实数,的值;‎ ‎(2)解关于的不等式:(为常数,且).‎ ‎【解析】(1)不等式的解集为,‎ 因为不等式的解集为,‎ 所以,.‎ ‎(2)由(1)可知:不等式为,‎ 为常数,且,‎ 当时解集为或;‎ 当时解集为或.‎ ‎19.已知椭圆C:的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l:交椭圆C于A,B两点,且,求m的值.‎ ‎【解析】(1)由题意可得,‎ 解得:,,‎ 椭圆C的方程为;‎ ‎(2)设,‎ 联立,‎ 得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 解得.‎ ‎20.已知数列的前项和,等比数列的公比,且,是和的等差中项.‎ ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)令,的前项和记为,若对一切成立,求实数的最大值.‎ ‎【解析】(1)时,,‎ 当时 ‎ 也符合上式,所以,‎ 又和,得,或.‎ ‎∵∴.‎ ‎∴, ‎ ‎(2)∵‎ ‎∴ ‎ 而随着的增大而增大,所以 故有最大值为.‎ ‎21.如图.在中,点P在边上,,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若的面积为.求 ‎【解析】(1)在中,设, 因为,‎ ‎,又因为,,‎ 由余弦定理得:‎ 即:,‎ 解得,‎ 所以,‎ 此时为等边三角形,‎ 所以;‎ ‎(2)由,‎ 解得,‎ 则,‎ 作交于D,如图所示:‎ 由(1)知,在等边中,,,‎ 在中.‎ 在中,由正弦定理得,‎ 所以.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于M,N两点.‎ ‎(1)若,直线l的斜率为2,求的面积;‎ ‎(2)设点P是线段的中点(点P与点F不重合,点是线段的垂直平分线与x轴的交点,若给定p值,请探究:是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)由题意得,直线,抛物线.‎ 联立,整理得,.‎ 设,,则,, ‎ ‎∴. ‎ ‎(2)由题意得,,易知直线l的斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为,‎ 联立,整理得.‎ 设,,则,‎ ‎∴,∴, ‎ ‎∴直线的方程为. ‎ 令,得,∴, ‎ ‎∴,, ‎ ‎∴,即为定值,定值为p.‎