2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识1 37页

第 2 课时　集合的表示 激趣诱思 知识点拨 根据集合的概念 , 我们知道 : 1 . 不等式 2 x+ 3 < 15 的所有自然数解组成集合 A ; 2 . 不等式 2 x+ 3 < 15 的所有实数解组成集合 B. 同学们想一下 , 这两个集合有区别吗 ? 如何表示这两个集合呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、集合的表示方法 1 . 列举法 列举法是把集合中的元素 　　　　　 出来写在花括号 “{ 　 }” 内表示集合的方法 , 一般可将集合表示 为 .   名师点析 用列举法表示集合时 , 必须注意以下几点 : (1) 元素与元素之间必须用 “,” 隔开 ;(2) 集合的元素必须是明确的 ;(3) 不必考虑元素出现的先后顺序 ;(4) 集合的元素不能重复 ;(5) 集合的元素可以表示任何事物 ;(6) 对含有较多元素的集合 , 如果该集合的元素具有明显的规律 , 可用列举法表示 , 但是必须把元素间的规律显示清楚后 , 才能用省略号表示 , 如 N + 也可表示为 {1,2,3, … , n , … } . 一一列举 激趣诱思 知识点拨 2 . 描述法 描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法 . 一般可将集合表示为 { x 及 x 的范围 |x 满足的条件 }, 即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围 , 再画一条竖线 “ | ”, 在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 描述法的一般形式是 { x ∈ I|p ( x )} . 其中 “ x ” 是集合中元素的一般符号的代表形式 , 简称代表元素 ;“ I ” 是 x 取值范围的一般代表形式 ;“ p ( x )”( 可以是符号表达式 , 也可以是文字表述形式 ) 是集合中元素 x 的共同特征的一般代表形式 . 通常用于表示无限集 , 或容易归纳其特征的集合 . 2 . 用描述法表示集合时 , 若需要多层次描述属性时 , 可选用逻辑联结词 “ 且 ” 与 “ 或 ” 等联结 . 如 集合 . 3 . 元素的取值范围 , 从上下文关系来看 , 如果 x ∈ R 是明确的 , 则 ∈ R 可以省略不写 , 如集合 D = 可以 表示为 D = . 4 . 若描述部分出现代表元素以外的字母时 , 要对该字母说明其含义或指出其取值范围 . 如 中 m 未被说明 , 故该集合中元素是不确定的 . 5 . 所有描述的内容都要写在花括号内 , 如 { x ∈ Z |x= 2 m , m ∈ N + }, 此时 m ∈ N + 不能写到花括号外 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 用列举法表示下列集合 : (1) 方程 x 2 - 9 = 0 的解组成的集合 ; (2) 不大于 100 的自然数组成的集合 . 答案 : (1){ - 3,3} . (2){0,1,2,3, … ,100} . 激趣诱思 知识点拨 微思考 下面四个集合 : ① { x|y=x 2 + 1}; ② { y|y=x 2 + 1}; ③ {( x , y ) |y=x 2 + 1}; ④ { y=x 2 + 1} . 它们是不是相同的集合 ? 它们各自的含义是什么 ? 提示 : 它们是互不相同的集合 . ① 集合 { x|y=x 2 + 1} 表示满足 y=x 2 + 1 的所有 x 值组成的集合 , 所以 { x|y=x 2 + 1} = R ; ② 集合 { y|y=x 2 + 1} 表示满足 y=x 2 + 1 的所有 y 值组成的集合 , 因为 y ≥ 1, 所以 { y|y=x 2 + 1} = { y|y ≥ 1}; ③ {( x , y ) |y=x 2 + 1} 的代表元素是 ( x , y ), 表示的是满足 y=x 2 + 1 的数对 ( x , y ) 组成的集合 , 也可以认为是坐标平面上的点 ( x , y ), 由于这些点的坐标满足 y=x 2 + 1, 所以 {( x , y ) |y=x 2 + 1} = { P|P 是抛物线 y=x 2 + 1 上的点 }; ④ { y=x 2 + 1} 表示的是由 y=x 2 + 1 这一元素组成的单元素集合 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1){0,1} 与 {(0,1)} 表示相同的集合 . ( 　　 ) (2) 用列举法表示集合 { x|x 2 - 2 x+ 1 = 0} 为 {1,1} . ( 　　 ) (3){ x|x>- 1} 与 { t|t>- 1} 表示同一集合 . ( 　　 ) (4) 集合 {( x , y ) |x> 0, y> 0, x , y ∈ R } 是指第一象限内的点集 . ( 　　 ) 提示 : (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 激趣诱思 知识点拨 　 二、集合的分类 1 . 集合可以根据它含有的元素的个数分为两类 : 含有 　　　　　　　 的集合叫作有限集 , 含有 　　　　　　 的集合叫作无限集 .   2 . 把不含有任何元素的集合叫作 　　　　 , 记作 　　 .   名师点析 (1) 集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的 , 不是按元素多少 , 一个集合中元素有很多 , 但是个数有限 , 也属于 有限 集 . (2) 空集中不含有任何元素 ,{0} 不是空集 , 因为它含有元素 0 . 有限个 元素 无限个元素 空集 ⌀ 激趣诱思 知识点拨 微思考 空集是有限集还是无限集 ? 提示 : 空集可以看成包含 0 个元素的集合 , 所以空集是有限集 . 激趣诱思 知识点拨 三、区间及其表示 1 . 设 a , b 是两个实数 , 且 　　　 , 我们作出规定 :   这里的实数 a , b 称为区间的端点 . [ a , b ] 称为 　　　　　 ,( a , b ) 称为 　　　　 ,[ a , b ),( a , b ] 称为 　　　 　　 . 在数轴上表示区间时 , 用实心点表示 　　　　 区间的端点 , 用空心点表示 　　　　　 区间的端点 .   aa , x ≤ b , x 3} . (3) 不等式 x- 2 < 3 的解是 x< 5, 则不等式 x- 2 < 3 的解组成的集合用描述法表示为 { x|x< 5} . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性 , 即它是数集、点集还是其他的类型 . 一般地 , 数集用一个字母代表其元素 , 点集用一个有序实数对代表其元素 . 2 . 若描述部分出现代表元素以外的字母 , 则 要 说明 新字母含义 或指出其取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 用描述法表示下列集合 : (1) 平面直角坐标系中的 x 轴上的点组成的集合 ; (2) 抛物线 y=x 2 - 4 上的点组成的集合 ; 解 : (1){( x , y ) |x ∈ R , y= 0};(2){( x , y ) |y=x 2 - 4};(3){ x|x ≠1 } . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 学生乙 : 问题转化为求直线 y=x 与抛物线 y=x 2 的交点 , 得到 A= {(0,0),(1,1)} . 解 : 学生甲正确 , 学生乙错误 . 由于集合 A 的代表元素为 x , 这是一个数集 , 而不是点集 . 因此满足条件的元素只能为 x= 0,1; 而不是实数对 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 代表元素是点 , 所以这是点集 , 学生乙正确 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 集合表示方法的选择与转换 例 4 用适当的方法表示下列集合 : (2)1 000 以内被 3 除余 2 的正整数组成的集合 ; (3) 所有的正方形组成的集合 ; (4) 抛物线 y=x 2 上的所有点组成的集合 . 分析 依据集合中元素的个数 , 选择适当的方法表示集合 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 设集合的代表元素是 x , 则该集合用描述法可表示为 { x|x= 3 k+ 2, k ∈ N , 且 k ≤ 332} . (3) 用描述法表示为 { x|x 是正方形 } 或 { 正方形 } . (4) 用描述法表示为 {( x , y ) |y=x 2 } . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 表示集合时 , 应先根据题意确定符合条件的元素 , 再根据元素情况选择适当的表示方法 . 值得注意的是 , 并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 用另一种方法表示下列集合 : (1){ 绝对值不大于 2 的整数 }; (2){ 能被 3 整除 , 且小于 10 的正数 }; ( 3){ - 3, - 1,1,3,5} . 解 : (1){ - 2, - 1,0,1,2} . (2){3,6,9} . ( 3){ x|x= 2 k- 1, - 1 ≤ k ≤ 3, k ∈ Z } . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 已知集合中元素个数求参数范围 例 5 若集合 A= { x|kx 2 - 8 x+ 16 = 0} 中只有一个元素 , 试求实数 k 的值 , 并用列举法表示集合 A. 分析 明确集合 A 的含义 → 对 k 加以讨论 → 求出 k 的值 → 写出集合 A 解 : 当 k= 0 时 , 原方程变为 - 8 x+ 16 = 0, x= 2 . 此时集合 A= {2}, 满足题意 . 当 k ≠0 时 , 要使关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 8 x+ 16 = 0 有两个相等实根 , 只需 Δ= 64 - 64 k= 0, 即 k= 1 . 此时方程的解为 x 1 =x 2 = 4, 集合 A= {4}, 满足题意 . 综上所述 , 实数 k 的值为 0 或 1 . 当 k= 0 时 , A= {2}; 当 k= 1 时 , A= {4} . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 解答与描述法有关的问题时 , 明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点 . 2 . 本题因不能确定 kx 2 - 8 x+ 16 = 0 是否为一元二次方程 , 因而 , 需要分为 k= 0 和 k ≠0 两种情况进行讨论 , 从而做到不重不漏 . 3 . 解 答 集合 与含有参数的方程的综合问题时 , 一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论 , 确定方程的根的情况 , 进而求得结果 . 需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根 个数中 的作用 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 例 5 中 , 若集合 A 中含有 2 个元素 , 试求 k 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 例 5 中 , 若集合 A 中至多有一个元素 , 试求 k 的取值范围 . 解 : (1) 当集合 A 中含有 1 个元素时 , 由例 5 知 , k= 0 或 k= 1; (2) 当集合 A 中没有元素时 , 方程 kx 2 - 8 x+ 16 = 0 无解 , 即 解得 k> 1 . 综上 , 实数 k 的取值范围为 { k|k= 0 或 k ≥ 1 } . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 第三次数学危机 数学史上的第三次危机 , 是在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论 产生 的 . 由于集合概念已经渗透到众多的数学分支 , 并且集合论 已 成 了数学的基础 , 因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对 数学整个 基本结构的有效性的怀疑 . 其中最著名的就是罗素于 1919 年给出的形式通俗化的 “ 罗素悖论 ”, 它涉及某村理发师的困境 . 理发师宣布了这样一条原则 : 他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸 , 并且 , 只给村里这样的人刮脸 . 那么 ,“ 理发师是否自己给自己刮脸 ?” 如果他不给自己刮脸 , 那么他按原则就该为自己刮脸 ; 如果他给自己刮脸 , 那么 这 就 不符合他的原则 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 罗素悖论使整个数学大厦动摇了 . 承认无穷集合 , 承认无穷基数 , 就好像一切灾难都出来了 , 这就是第三次数学危机的实质 . 尽管悖论可以消除 , 矛盾可以解决 , 然而数学的确定性却在一步一步地丧失 . 现代公理集合论的大堆公理 , 简直难说孰真孰假 , 可是又不能把它们都消除掉 , 它们跟整个数学是血肉相连的 . 所以 , 第三次危机表面上解决了 , 实质上以 其他形式更深刻地延续着 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 已知集合 A = , 则下列关系式不成立的是 ( 　　 ) A.0 ∈ A B.1 . 5 ∉ A C. - 1 ∉ A D.6 ∈ A 答案 : D 　 解析 : 由题意知 A= {0,1,2,3,4,5}, 故选 D . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 集合 { x ∈ N + |x< 5} 的另一种表示法是 ( 　　 ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 答案 : B 　 解析 : N + 为正整数集 , 所以集合 { x ∈ N + |x< 5} 表示小于 5 的正整数组成的集合 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 集合 { - 1,1} 用描述法可以表示为 　　　　　 .   4 . 集合 A= {( x , y ) |x+y= 6, x , y ∈ N } 用列举法表示为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .   答案 : 答案不唯一 , 如 { x||x|= 1 } 答案 : A= {(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0 )} 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 分别用描述法和列举法表示下列集合 : (1) 方程 x 2 -x- 2 = 0 的解组成的集合 ; (2) 大于 1 且小于 5 的所有整数组成的集合 . 解 : (1) 集合用描述法表示为 { x|x 2 -x- 2 = 0}; 由于方程 x 2 -x- 2 = 0 的解分别为 - 1,2, 故方程的解组成的集合用列举法表示为 { - 1,2} . (2) 集合用描述法表示为 { x| 1